са) частицы. Если известно состояние в начальный момент времени и силовое поле, в котором находится частица, то, решив уравнение Ньютона, можно найти положение и скорость частицы в любой последующий момент времени. В этом состоит сущность причинности в классической механике.

В квантовой механике классическое понятие состояния лишено смысла, ибо координата и скорость частицы принципиально не могут иметь одновременно определенных значений. Соответственно классическое понятие причинности также неприменимо в квантовой теории. Состояние частицы задается в квантовой механике волновой функцией. Если известны волновая функция в начальный момент времени и силовое поле, в котором движется частица, то, решив уравнение Шрёдингера, можно найти волновую функцию в последующие моменты времени. В этом заключается сущность причинности в квантовой механике. Таким образом, квантовая механика не отменила принцип причинности. Она лишь придала ему форму, соответствующую истинной природе вещей.

7.3.3 Прохождение частиц через потенциальный барьер

Различие в поведении классической и квантовой частиц отчетливо проявляется в тех случаях, когда на пути частицы встречается потенциальный барьер. Будем считать, что частица движется вдоль оси x. Пусть имеется потенциальный барьер, изображенный на риc.

Потенциальная энергия частицы U при x < 0 равна нулю, при x ≥ 0 — имеет значение U0.

Потенциальный барьер в виде ступеньки (а) и потенциальный

185

барьер конечной ширины (б)

Рассмотрим вначале поведение классической частицы (т. е. частицы, подчиняющейся законам классической механики). Если полная энергия E частицы меньше высоты барьера U0 (E1 на рис.a), частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону с той же энергией, какую она имела первоначально. В случае, когда E > U0 (E2 на рис.а), частица пройдет над барьером, потеряв лишь «часть» своей скорости, и будет беспрепятственно двигаться в прежнем направлении.

Совершенно иначе выглядит поведение квантовой частицы. Такая частица, налетев на ступенчатый барьер, имея энергию, меньшую U0, проникает в него на некоторую глубину (причем ее волновая функция убывает экспоненциально) и лишь затем поворачивает в обратную сторону. Под глубиной проникновения понимают расстояние xe, на котором вероятность обнаружения частицы уменьшается в e раз (напомним, что граница барьера имеет x = 0). Соответствующий расчет дает, что

Из этой формулы вытекает, что чем легче частица (чем меньше m) и чем меньше превышение высоты барьера U0 над E, тем на большую глубину проникает частица в процессе отражения.

Произведем оценку xe для свободного электрона в металле. Металлическое тело представляет собой для электрона потенциальную яму глубины U0. Поэтому электрон, движущийся к поверхности металла, «натыкается» на ступенчатый потенциальный барьер высоты U0. Превышение этого барьера над энергией E наиболее быстрых электронов составляет величину порядка нескольких электронвольт. Примем U0 — E равной 1 эВ = 1,6∙10-19 Дж. Тогда согласно (16.1)

Получилось значение порядка межатомных расстояний в кристалле. Таким образом, свободные электроны вылетают за преде-

186

лы металла на расстояние порядка 0,1 нм, после чего возвращаются обратно. В результате металлическое тело оказывается окруженным облаком электронов.

В случае, когда E > U0 (E2 на рис.a), квантовая частица не обязательно проникает в область x > 0 и движется в первоначальном направлении. Имеется вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратном направлении. Эта вероятность равна

R= E −E −U0 2 .

E + E −U0

Для случая E = 2U0

R= 2 −1 2 = 0,030 .

2 +1

Если E = 1,1U0, то R = 0,29.

Еще разительнее различие в поведении классической и квантовой частиц в случае потенциального барьера конечной ширины (рис. б). Для такого барьера U = 0 при x < 0 и при x>1, а в области

0 ≤ x ≥ U = U0. При E < U0 (E1 на рис. б) классическая частица от-

ражается от такого барьера точно так же, как от ступенчатого барьера, изображенного на рис.a. Вероятность проникнуть за барьер у классической частицы равна нулю. При E > U0 (E2 на рис. б) частица проходит над барьером и продолжает двигаться за барьером с первоначальной скоростью. Вероятность отразиться от барьера у классической частицы равна нулю.

Квантовая частица может оказаться за барьером даже при E < U0 и отразиться от барьера при E > U0. Это вытекает из уравнения Шрёдингера и стандартных условий, налагаемых на волновые функции. Не приводя в принципе простых, но громоздких вычислений, дадим только конечный результат. Вероятность того, что частица окажется за барьером, называется коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности). В случае прямоугольного барьера, изображенного на рис. б, коэффициент прохождения D может быть представлен приближенной формулой

187

Из этой формулы следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барье-

ра и от его превышения над E, т. е. от U0 - E. Если при какой-то

ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,012 = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины U0 - E. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы формула (7.29) должна быть заменена более общей формулой

где U = U(x).

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис., в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле E <. U0). Однако туннельный эффект — явление специфически

188