Рис.9.1.1. Условие изопланатизма.

В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.

Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.

9.1.2. Функция рассеяния точки

В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния

(рис.9.1.2).

Рис.9.1.2. Изображение точки в пределах изопланатической зоны.

Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки.

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) h(x′, y′) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

138

Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет I (x, y), то каждая его точка изображается в виде функции h(x′−Vx, y′−Vy), то есть ФРТ смещается в точку с координатами (Vx,Vy) (рис.9.1.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений:

−∞ −∞

Если увеличение V принять за единицу, то выражение (9.1.3) становится сверткой (конволюцией).

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:

9.1.3. Гармонический периодический объект

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.9.1.3).

В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.

y

Рис.9.1.3. Гармоническая периодическая решетка.

139

Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:

интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат (x, y): (9.1.8)

где νx – частота в направлении x , νy – частота в направлении y .

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.1.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию I~(x, y) (9.1.8):

−∞ −∞

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V =1, следовательно:

140

=u e2πi(ν x x′+ν y y′) +∫∞ +∫∞h(x, y) e−2πi(ν x x+ν y y ) dxdy =

=u e2πi(ν x x′+ν y y′) −∞D(ν−∞x ,ν y )

Двойной интеграл в выражении (9.1.10) – это некоторая функция D(νx ,νy ),

зависящая от пространственных частот.

Обозначим u′= u D(νx ,ν y ), и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:

Как показывают соотношения (9.1.8) и (9.1.11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы.

9.1.4. Оптическая передаточная функция (ОПФ)

141

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:

−∞ −∞

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:

называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

где a – амплитуда на предмете, a′ – амплитуда на изображении. Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с

142

I ′

изображение практически отсутствует (рис.9.1.5.б).

Рис.9.1.5. Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта.

Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:

(например, для глаза δk′≈ 0.05 ).

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a0′ и переменную a′ составляющие изображения

Рис.9.1.6. Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта.

143