−σ |
σ0′ |
σ' |
|
||
|
|
плоскость |
|
|
Гаусса |
Рис.8.2.11. Углы лучей, используемые в условиях апланатизма и изопланатизма.
Если условие изопланатизма выполняется, то комы в ближайшей окрестности осевой точки не будет. Относительное отступление от изопланатизма (так называемая мера комы) определяется следующим выражением:
η(%) |
|
|
sinσ |
|
|
|
||
= |
−1 |
100% |
(8.2.19) |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinσ0′ V |
|
|
|
|||
Поперечная аберрация комы 3 порядка для точки изображения с |
||||||||
координатой y′ может быть представлена следующим образом: |
|
|||||||
∆y′ = |
|
3η y′ |
|
|
(8.2.20) |
|||
|
100% |
|
|
|
||||
8.2.4. Астигматизм и кривизна изображения
Астигматизм появляется при значительном смещении точки предмета с оси и добавляется ко всем остальным аберрациям. Сместим предмет с оси на значительное расстояние (рис.8.2.12). Астигматизм состоит в том, что не совпадают точки фокусов в меридиональной Fm′ и сагиттальной Fs′ плоскостях, поэтому лучи бесконечно узкого пучка не сходятся в одной точке. Кривизна заключается в том, что наилучшее изображение получается на искривленной поверхности, а не на плоскости.
125
y′ |
|
zs′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
zm |
|
|
Fm′ |
Fs′ |
|
|
|
|
|
z′ |
|
Fm′ |
Fs′ |
|
|
|
поверхность наилучшего |
||
изображения |
||
Рис.8.2.12. Астигматизм и кривизна изображения. |
||
Разложение в ряд волновой аберрации (параграф 8.2.1) при наличии астигматизма 3 и 5 порядков:
W (ρ,ϕ)=W ρ2 cos2 |
ϕ +W ρ4 cos4 |
ϕ |
(8.2.21) |
22 |
42 |
|
|
или
W (ρx , ρy )=W22 ρy2 +W42 (ρx2 + ρy2 )ρy2
Количественно астигматизм и кривизна характеризуются продольными астигматическими отрезками zm′ и z′s . Меридиональная кривизна определяется отрезком zm′ – это расстояние от плоскости параксиального изображения до меридионального фокуса Fm′. Сагиттальная кривизна определяется отрезком z′s – это расстояние от плоскости параксиального изображения до сагиттального фокуса Fs′.
Средняя кривизна определяется полусуммой астигматических отрезков и указывает положение наилучшего изображения для данного пучка:
|
|
′ |
′ |
|
|
∆кр |
= |
zm |
+ zs |
|
(8.2.22) |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
||
Мера астигматизма в продольном измерении определяется разностью |
|||||
астигматических отрезков: |
|
||||
∆аст |
= zm′ |
− zs′ |
(8.2.23) |
||
В первом приближении средняя кривизна пропорциональна квадрату расстояния от оси. Зависимость кривизны и астигматизма по полю показывают графики продольных аберраций для внеосевых пучков (рис.8.2.13).
126
|
|
|
|
∆аст |
σ |
|
|
|
|
σ 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z's , z'm |
|
|
|
|
z's , z'm |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) продольные аберрации |
|||||
a) продольные аберрации |
|
||||||||||||||
(зависимость от квадрата предметной |
|||||||||||||||
(зависимость от предметной |
|||||||||||||||
|
координаты) |
|
|||||||||||||
|
|
|
координаты) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∆y' |
|
|
|
|
∆x′ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρy |
|
|
|
|
|
ρx |
|
-1 |
|
|
0 |
1 |
-1 |
|
0 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) поперечные аберрации в |
г) поперечные аберрации в |
||||||||||||||
меридиональном сечении |
|
сагиттальном сечении |
|||||||||||||
Рис.8.2.13. Астигматизм 3 порядка (продольные и поперечные аберрации). |
|||||||||||||||
Здесь σ – относительная предметная координата (на краю поля σ =1, |
|||||||||||||||
на оси σ = 0 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ = |
y |
|
|
|
|
(8.2.24) |
|||||||||
ymax |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для астигматизма более высоких порядков (5 и выше) графики могут выглядеть, как показано на рис.8.2.14:
1 σ 2
s
m
z's , z'm
Рис.8.2.14. Продольные аберрации при астигматизме 5 порядка.
В зависимости от положения плоскости изображения при астигматизме пятно рассеяния может принимать форму эллипсов, отрезков или круга (рис.8.2.15). Горизонтальный отрезок наблюдается, если плоскость
127
изображения совпадает с меридиональным фокусом, а вертикальный – если с сагиттальным. Посередине между ними пятно рассеяния имеет форму круга. В остальных положениях – пятна эллиптической формы.
m |
s |
Рис.8.2.15. Пятна рассеяния астигматического пучка.
8.2.5. Дисторсия
Название происходит от латинского “искажение”.
Если кроме дисторсии других аберраций нет, то точка изображается в виде точки (гомоцентрический пучок остается гомоцентрическим), но эта точка смещена от идеальной (рис.8.2.16).
A' |
|
′ |
y' |
A0 |
|
|
y'0 |
−y |
|
A |
|
Рис.8.2.16. Дисторсия. |
|
Разложение в ряд волновой аберрации (параграф 8.2.1) при наличии
дисторсии: |
|
W (ρ,ϕ)=W11ρ cosϕ |
(8.2.25) |
или
W (ρx , ρy )=W11ρy
При дисторсии величина изображения отличается от идеального:
∆y′= y′− y0′ |
(8.2.26) |
Абсолютная дисторсия (выражается в тех же единицах, что и величина изображения):
∆y′= y′−V y |
(8.2.27) |
где V – увеличение системы для данной точки поля.
128
Относительная дисторсия: |
|
||||||
|
∆y′ |
|
y′ |
|
|
|
|
∆% = |
y0′ |
100% |
= |
|
−1 |
100% |
(8.2.28) |
|
|||||||
|
|
V y |
|
|
|
||
Дисторсия характерна тем, что ее величина нелинейно зависит от величины предмета, то есть линейное увеличение различно для разных точек поля. Абсолютная дисторсия 3 порядка определяется дифференцированием выражения (8.2.25) и умножением на квадрат предметной координаты σ :
∆y′ = − |
λ |
|
∂(W11ρ cosϕ) |
σ |
2 |
= − |
λ |
W11σ |
2 |
(8.2.29) |
|
′ |
∂ρy |
|
|
′ |
|
||||||
|
Ay |
|
|
|
|
Ay |
|
|
|
||
График относительной дисторсии 3 порядка приведен на рис.8.2.17. Для сравнения показан примерный ход кривой дисторсии высшего порядка.
1 σ 2
∆%III ∆%V +VII
∆%
Рис.8.2.17. Дисторсия 3 и высшего порядков.
Наличие дисторсии приводит к искажению прямых линий, не проходящих через ось (рис.8.2.18). Если квадратный предмет изображается в виде подушки
– это положительная дисторсия. Если изображение квадрата имеет выпуклые стороны (в виде бочки), то это отрицательная дисторсия.
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x' |
|
отрицательная |
|
дисторсия |
|
положительная |
a |
дисторсия |
V a |
|
а) предмет |
б) изображение |
|
Рис.8.2.18. Дисторсия.
129