Сила света от сферического ламбертовского источника постоянна во всех направлениях:
I = I0 = const |
(2.3.2) |
2.4. Поток от излучателей различной формы
Вырежем на поверхности сферы единичного радиуса с центром в источнике элементарную площадку dS и телесный угол – dΩ (рис.2.4.1):
z
dΩ dS
θ dθ
r=1 |
ϕ |
y |
|
dϕ
x
Рис. 2.4.1. Телесный угол в полярных координатах.
Выразим телесный угол dΩ через углы dϕ и dθ :
dΩ = |
dS |
= |
(r dθ )(r sinθ dϕ) |
= |
r2 sinθ dθ dϕ |
= sinθ dθ dϕ |
|
r2 |
r2 |
r2 |
|||||
|
|
|
|
||||
dΩ = sinθ dθ dϕ |
|
|
(2.4.1) |
||||
Поток, проходящий через площадку dS : dΦ = I dΩ
Тогда общий поток от произвольного излучателя в произвольном телесном угле:
Φ = ∫∫I (ϕ,θ )dΩ = ∫∫I (ϕ,θ ) sinθ dθ dϕ |
(2.4.2) |
|
Ω0 |
Ω0 |
|
2.4.1. Сферический ламбертовский излучатель
Для сферического ламбертовского излучателя сила света постоянна во всех направлениях: I (ϕ,θ) = I0 = const .
Поток в телесном угле Ω0 определяется из выражения (2.4.2):
33
Φ = ∫∫I (ϕ,θ ) sinθ dθ dϕ = I0 |
∫∫dΩ =I0 |
∫∫sinθ dθ dϕ = I0Ω0 |
(2.4.3) |
Ω0 |
Ω0 |
Ω0 |
|
z
Ω0
2σ
σ
y
x
Рис.2.4.2. Телесный угол, получаемый вращением плоского угла.
Найдем телесный угол Ω0 , определяемый плоским углом 2σ (рис.2.4.2):
|
|
|
|
σ 2π |
|
|
σ |
|
|
|
|
)= 2π(1−cosσ )= 4π sin2 σ |
||||||||
|
|
Ω0 = ∫ ∫sinθ dθ dϕ = 2π ∫sinθ dθ =2π(−cosϑ |
|
σ0 |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Таким образом, телесный угол, который получается вращением плоского |
||||||||||||||||||
угла можно выразить следующим образом: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Ω0 = 4π sin2 σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полный поток от сферического ламбертовского излучателя в |
||||||||||||||||||
телесном угле Ω0 определяется выражением: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Φ = I0Ω0 = 4πI0 sin2 σ |
|
|
|
|
|
|
(2.4.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.2. Плоский ламбертовский излучатель |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Для |
|
плоского |
ламбертовского |
излучателя |
сила |
света не |
постоянна |
|||||||||||
(I = I0 cosθ ), следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Φ = |
∫∫ |
I0 cosθ sinθ dθ dϕ = |
I0 |
σ 2πsin 2θ dθ dϕ =π I0 |
σ sin 2θ dθ = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫ ∫ |
|
∫ |
(2.4.6) |
|||||||||
|
|
|
|
Ω0 |
|
|
|
)= |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
= |
πI0 |
|
(−cos2θ |
|
σ0 |
π I0 |
(1−cos 2σ )=πI0 sin2 σ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, полный поток от плоского ламбертовского излучателя в телесном угле Ω0 , определяемым плоским углом 2σ , можно выразить следующим образом:
34