Рис.4.2.6. Конгруэнция. |
|
Конгруэнция определяется следующим уравнением: |
|
rot(q(r))= 0 |
(4.2.7) |
или
( ×q(r))= 0
где запись q(r) определяет множество лучей в пространстве. Выражение (4.2.7) означает, что совокупность лучей не образует вихревые структуры.
Нормальная конгруэнция – это конгруэнция, все линии которой пересекаются некоторой поверхностью под прямым углом.
Пучок лучей – это множество лучей, которое представляет собой
нормальную конгруэнцию.
4.3. Основные законы геометрической оптики
Все законы геометрической оптики следуют из закона сохранения энергии. Все эти законы не являются независимыми друг от друга.
4.3.1. Закон независимого распространения лучей
Если через точку пространства проходит несколько лучей, то каждый луч ведет себя так, как если бы других лучей не было.
Это справедливо для линейной оптики, где показатель преломления не зависит от амплитуды и интенсивности проходящего света.
4.3.2. Закон обратимости
Траектория и длина хода лучей не зависят от направления распространения.
55
То есть, если луч, который распространяется от точки P1 до точки P2 , пустить в обратном ходе (от P2 к P1 ), то он будет иметь такую же траекторию, как и в прямом.
4.3.3. Закон прямолинейного распространения
В однородной среде лучи – прямые линии (см. параграф 4.2.1).
4.3.4. Закон преломления и отражения
Закон отражения и преломления подробно рассматривается в Главе 3. В рамках геометрической оптики формулировки законов преломления и отражения сохраняются.
4.3.5. Принцип таутохронизма
E2
E1 P2
P1 
Рис.4.3.1. Принцип таутохронизма.
Рассмотрим распространение света, как распространение волновых фронтов (рис.4.3.1).
Оптическая длина любого луча между двумя волновыми фронтами одна и та же:
[P1P2 ]= E2 − E1 = const |
(4.3.1) |
Волновые фронты – поверхности, которые оптически параллельны друг другу. Это справедливо и для распространения волновых фронтов в неоднородных средах
4.3.6. Принцип Ферма
Пусть имеются две точки P1 и P2 , расположенные, возможно, в различных средах. Эти точки можно соединить между собой различными линиями. Среди этих линий будет только одна, которая будет являться оптическим лучом,
56
который распространяется в соответствии с законами геометрической оптики
(рис.4.3.2).
луч |
P2 |
P1 |
|
Рис.4.3.2. Принцип Ферма.
Можно сосчитать для сравнения оптическую длину этого луча и какихлибо других линий. В результате такого сравнения был получен принцип Ферма (Fermat principle).
Принцип Ферма:
Оптическая длина луча между двумя точками минимальна по сравнению со всеми другими линиями, соединяющими эти две точки:
[P1P2 ]= min |
(4.3.2) |
Существует более полная формулировка: |
|
Оптическая длина луча между двумя точками является стационарной по отношению к смещению этой линии.
Луч – кратчайшее расстояние между двумя точками. Если линия, вдоль которой мы измеряем расстояние между двумя точками, отличается от луча на величину 1-го порядка малости, то оптическая длина этой линии отличается от оптической длины луча на величину 2-го порядка малости.
Если оптическую длину луча, соединяющего две точки, поделить на скорость света, то получим время, необходимое на преодоление расстояния
между двумя точками: |
|
|
|
[P1P2 ]= ∆t |
[P P ]= c∆t |
(4.3.3) |
|
c |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Еще одна формулировка принципа Ферма:
Луч, соединяющий две точки, идет по такому пути, который требует наименьшего времени (по самому быстрому пути).
Из этого принципа могут быть выведены законы преломления, отражения и т.д.
57