Явление ПВО широко используется в оптической технике благодаря тому, что при ПВО отражается 100% энергии, то есть потерь энергии нет. Таким образом, ПВО позволяет решить задачу полного отражения света: в зависимости от угла падения луч или почти полностью проходит, или почти полностью отражается.
Нарушенное полное внутреннее отражение (НПВО), которое возникает при оптическом контакте границы раздела со средой, используется в спектроскопии.
3.2. Формулы Френеля. Соотношение между амплитудами падающих, преломленных и отраженных волн
При выводе законов преломления и отражения (параграф 3.1) не принимались во внимание энергетические соотношения между падающим, преломленным и отраженным лучами. Для учета этих соотношений необходимо использование векторного описания падающего поля.
3.2.1. Формулы Френеля
Рассмотрим, какое количество света преломляется, а какое отражается, в зависимости от угла падения и показателей преломления сред. Эта задача была решена в первой половине XIX века Френелем (Fresnel).
Рассмотрим границу раздела двух сред с показателями преломления n и n′. Разложим электрический вектор падающей плоской волны E(i ) на две составляющих: одна лежит в плоскости падения ( A|| ), другая перпендикулярна плоскости падения (и плоскости рисунка) ( A ) (рис.3.2.1).
|
|
z |
T|| |
t |
|
|
|
|
|
n′ |
|
|
ε′ |
T |
|
|
εr |
||
n |
A|| |
ε |
|
x |
i |
|
|
R |
|
|
A |
|
r |
|
|
|
|
|
R|| |
Рис.3.2.1. Отражение и преломление плоской волны. Формулы Френеля.
43
Тогда компоненты электрического вектора поля падающей плоской волны запишутся в виде:
Ex(i) = −A|| cosε |
|
|
E(i) = A |
(3.2.1) |
|
y |
|
|
Ez(i) = A|| sinε
Поскольку вектор H перпендикулярен вектору E , то его компоненты можно выразить следующим образом:
H x(i) = −A n cosε |
|
H y(i) = −A|| n |
(3.2.2) |
Hz(i) = A n sinε
Аналогично можно разложить комплексную амплитуду отраженной волны R и преломленной волны T на параллельную и перпендикулярную составляющие.
Тогда поле прошедшей волны:
Ex(t) = −T|| cosε′ |
H x(t) = −T n'cosε' |
|
Ey(t) =T |
H y(t) = −T|| n′ |
(3.2.3) |
Ez(t) =T|| sinε′ |
Hz(t) =T n'sinε' |
|
Поле отраженной волны: |
|
|
Ex(r) = −R || cosε r |
H x(r) = −R n cosε r |
|
Ey(r) = R |
H y(r) = −R || n |
(3.2.4) |
Ez(r) = R || sinε r |
Hz(r) = R nsinε r |
|
На границе раздела двух сред не должно быть разрывов функций, то есть тангенциальные составляющие векторов E и H (х- и у- составляющие, лежащие в плоскости границы раздела) должны быть непрерывны, что следует из уравнений Максвелла (1.2.1), и, следовательно, должны выполняться соотношения:
Ex(i) + Ex(r) = Ex(t)
Ey(i) + E(yr) = E(yt)
H x(i) + H x(r) = H x(t) |
|
H y(i) + H y(r) = H y(t) |
(3.2.5) |
44
Эти уравнения описывают непрерывность тангенциальных (лежащих в плоскости границы) компонент электрического и магнитного полей, если
поглощения на границе нет. |
|
|
Подставив в (3.2.5) |
значения всех компонент, и учитывая, что |
|
cosε r= cos(π −ε)= −cosε , получим: |
||
|
′ |
|
cosε(A|| − R|| )= cosε T|| |
|
|
A + R = T |
|
(3.2.6) |
′ |
|
′ |
n cosε (A − R )= n |
cosε T |
|
n(A|| + R || )= n′T||
Можно решить уравнения (3.2.6) относительно компонент отраженной и прошедшей волн, выразив их через компоненты падающей волны. После преобразований получим формулы Френеля, для амплитуд прошедшей T|| , T
и отраженной R || , R волн соответственно:
T|| = |
|
2ncosε |
|
A|| |
R |
|
= |
|
n′cosε − ncosε′ |
A |
|
||||
n′cosε + ncosε′ |
|| |
|| |
|||||||||||||
|
|
n′cosε + ncosε′ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2ncosε |
|
|
|
|
|
|
ncosε − n′cosε′ |
|
|
(3.2.7) |
|||
T = |
|
|
A |
R |
|
= |
|
A |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
cosε |
′ |
+ ncosε |
|
|
|
|
|
ncosε + n′cosε′ |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пользуясь законом преломления (3.1.8 – 3.1.9), исключить показатели преломления n и n′:
|
|
|
2sinε′cosε |
|
|
|
|
|
|
|
tg(ε−ε′) |
|
|
|
|
|
|||||||
T|| = |
|
|
|
|
|
|
|
|
A|| |
R |
|| = |
|
|
|
|
A|| |
|
||||||
sin(ε + ε |
′ |
)cos(ε |
′ |
) |
|
′ |
) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
−ε |
|
|
|
|
tg(ε+ ε |
|
|
|
|
|
|||||||||
T |
= |
2sinε′cosε |
A |
|
|
|
|
R |
|
= − |
sin(ε−ε′) |
|
A |
||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin(ε + ε |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(ε+ ε |
′ |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
из этих формул можно
(3.2.8)
3.2.2. Распределение энергии между отраженным и преломленным полями
Рассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяется между отраженным и преломленным полями. Для этого можно использовать интенсивности падающей, прошедшей и отраженной волн, определяемые через квадраты их амплитуд:
Ii ~ A2 |
(cosε n)2 |
|
It ~ T 2 |
(cosε′ n′)2 |
(3.2.9) |
Ir ~ R2 (cosε n)2 |
|
|
45