Все свойства идеальной оптической системы полностью описываются |
||||
матрицей преобразования лучей G , называемой также гауссовой матрицей |
||||
или ABCD-матрицей: |
|
|
|
|
A |
B |
|
|
(6.2.2) |
G = |
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
Выражение (6.2.1) можно также записать в виде: |
|
|
||
′ |
|
|
|
(6.2.3) |
b = G b |
|
|
|
|
где b – вектор-столбец входных координат, b′ – вектор-столбец |
||||
выходных координат, G – матрица, описывающая |
оптическую |
|||
систему. |
|
|
|
|
6.2.2. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования |
||||
Рассмотрим луч с координатами y =1, Y = 0 (рис.6.2.1). |
|
|
||
|
ОП |
ОП′ |
|
|
|
y |
y ′ |
|
|
|
|
F |
′ |
|
|
|
α′ |
||
|
|
SF′ ′ |
|
|
|
|
f ′ |
|
|
Рис.6.2.1.Схема для нахождения элементов A и C матрицы преобразования. |
||||
Подставив в выражение (6.1.3) значения y и Y ′, получим: |
|
|||
y′= Ay + BY = A |
|
|
(6.2.4) |
|
Y ′= Cy + DY = C |
|
|
||
|
|
|
||
Из рис.6.2.1 видно, что: |
|
|
|
|
f ′= αy′, SF′ ′ = αy′′
Отсюда с учетом того, что y =1, можно получить выражения для y′ и Y ′:
y′= SF′ ′ α′= SfF′′′
(6.2.5)
Y ′= −n′α′ = − nf ′′
86
Таким образом, подставив выражения (6.2.5) в (6.2.4), мы получим два |
|||||
элемента матрицы преобразования: |
|
|
|||
A = |
S |
′ ′ |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
f ′ |
|
|
(6.2.6) |
|
C = − n′ = −Φ |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
f ′ |
|
|
|
Теперь рассмотрим луч с входной координатой Y =1 (α = − |
1 ) и выходной |
||||
координатой Y ′= 0 (α′ = 0 ) (рис.6.2.2). |
|
n |
|||
|
|
||||
|
|
|
ОП |
ОП ′ |
|
|
|
F |
y |
y ′ |
|
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
– SF |
|
|
|
|
|
– f |
|
|
Рис.6.2.2. Схема для нахождения элементов B и D |
матрицы преобразования. |
||||
Подставив в выражение (6.1.3) значения y и Y ′, получим: |
|
||||
y′ = Ay + BY = Ay + B |
|
(6.2.7) |
|||
Y ′ = Cy + DY = Cy + D = 0 |
|
||||
|
|
||||
Из рис.6.2.2 найдем входную и выходную линейные координаты: |
|||||
|
′ |
|
f |
|
|
y |
= −α (− f ) = − n |
(6.2.8) |
|||
|
|||||
y = −α (−SF ) = − SnF
Из выражений (6.2.7) и (6.2.8) можно получить еще два элемента матрицы преобразования:
D = −Cy = − − nf ′′ −
B = y′− Ay = − nf − SfF′′′
S |
F |
|
= |
n |
|
|
S |
F |
= |
S |
F |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||
|
S |
F |
|
|
|
S |
F |
S′ |
′ |
|
|
f |
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
F |
|
− |
|
|||||
|
|
|
|
|
n f ′ |
|
n |
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S |
|
S′ |
′ − |
f f ′ |
(6.2.9) |
|
F |
|
||||
= |
|
F |
|
|
|
|
|
|
n f ′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
87
Таким образом матрица преобразования имеет следующий вид:
|
|
SF′ ′ |
|
|
SF SF′ ′ − |
f f ′ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′ |
|
|
n f ′ |
|
|
|||||
G = |
|
n′ |
|
|
(6.2.10) |
||||||
|
|
|
|
SF |
|
||||||
|
− Φ = − |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f ′ |
|
f |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Элемент матрицы C зависит только от параметров оптической системы, а элементы A , B и D зависят еще и от выбора опорных плоскостей.
Определитель матрицы преобразования
Определитель матрицы преобразования любой оптической системы равен единице:
det G = AD − BC =1 |
(6.2.11) |
Обратная матрица преобразования
По определению обратной матрицы должно выполняться следующее равенство:
G−1G = GG−1 = I |
(6.2.12) |
где I = 10 10 – единичная матрица.
Обратная матрица преобразования описывает обратное преобразование (из выходных координат во входные):
b = G−1 b′ |
|
(6.2.13) |
||
или |
|
|
|
|
y |
= G−1 |
y′ |
||
|
|
|
|
|
Y |
|
Y ′ |
||
Обратная матрица преобразования имеет следующий вид:
G−1 |
D |
− B |
(6.2.14) |
|
= |
−C |
|
||
|
|
A |
|
|
Условие сопряжения опорных плоскостей
В общем случае все элементы матрицы преобразования не равны нулю, но для случая сопряженных опорных плоскостей элемент B = 0.
88