так и мнимой частей этого комплексного числа. Нас интересует вещественная часть:
( α)2 − k02 ( E)2 + 2α + k02 n2 = 0 |
(4.1.9) |
|||||||
Перепишем это уравнение в виде: |
|
|||||||
( E)2 − n2 |
1 |
[( α)2 + 2α] |
|
|||||
= |
|
|
|
|||||
|
k02 |
|
||||||
где k0 = |
2π |
, или: |
|
|||||
|
|
|||||||
|
λ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( E)2 − n2 |
= |
λ 02 |
[( α)2 + 2α] |
(4.1.10) |
||||
4π 2 |
||||||||
Применим к уравнению (4.1.10) приближение коротких длин волн. Если |
||||||||
длина волны |
стремится к нулю (λ0→ 0), то |
в правой части уравнения |
||||||
получается величина, близкая к нулю. Отсюда можно получить уравнение эйконала:
( E)2
или:
( E)2
= n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ E |
2 |
|
∂ E |
2 |
|
∂ E |
2 |
(x, y, z) |
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
= n2 |
||||
|
∂ x |
|
|
∂ y |
|
|
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(4.1.11)
(4.1.12)
Из уравнения эйконала следует, что геометрическая оптика применима только для коротких длин волн. Чем короче длина волны, тем точнее приближение геометрической оптики.
4.2.Основные понятия геометрической оптики
4.2.1.Волновой фронт и лучи
Из приближения коротких волн, рассмотренного в параграфе 4.1, следует подход к изучению распространения света на основе понятия лучей.
Луч – это прямая или кривая линия, вдоль которой распространяется энергия светового поля.
Таким образом, геометрическая оптика описывает распространение электромагнитного поля как распространение лучей в пространстве. Кроме лучей существует еще одно важное понятие геометрической оптики – волновой фронт.
51
Волновой фронт – это поверхность равной фазы или равного эйконала:
E(r)= const |
(4.2.1) |
Изменяя значение const можно получить различные волновые фронты. При перемещении волнового фронта из одного положения в другое происходит увеличение эйконала.
Основные свойства волновых фронтов:
•волновые фронты в рамках геометрической оптики не пересекаются между собой;
•через каждую точку пространства проходит волновой фронт, и причем только один.
луч
q
E3
E1 E2
Рис.4.2.1. Волновые фронты и лучи.
В геометрической оптике лучи определяются как нормали к волновому фронту. Направление луча совпадает с направлением распространения волнового фронта и определяется оптическим вектором q в каждой точке пространства (рис.4.2.1).
Уравнение волнового фронта: |
|
q = E |
(4.2.2) |
Если среда, в которой распространяется свет однородна, то есть ее
показатель преломления не зависит от пространственных координат (n = const), то из уравнения эйконала (4.1.11) следует, что направление луча остается
постоянным: |
|
q = const |
(4.2.3) |
Следовательно, в однородной среде лучи являются прямыми линиями. На границе раздела двух сред луч преломляется в соответствии с законом преломления.
В неоднородной среде, где показатель преломления непостоянен, лучи искривляются в сторону градиента показателя преломления n , то есть с
52
увеличением показателя преломления возрастает кривизна луча. При этом кривизна луча пропорциональна n . Если луч – это кривая, то вектор q направлен по касательной к лучу в каждой точке (рис.4.2.2).
q
луч
n
Рис.4.2.2. Оптический луч в неоднородной среде.
С помощью изучения траекторий лучей в неоднородной среде можно анализировать влияние неоднородностей на распространение света. Например, при использовании наземных оптических телескопов учитывать неоднородность атмосферы Земли. Например, корректируя качество изображения наземных оптических телескопов, учитывая неоднородность атмосферы Земли.
4.2.2. Оптическая длина луча
Пусть имеется однородная среда (n = const), тогда отрезок луча между точками P1 и P2 – это отрезок прямой с геометрической длиной l (рис.4.2.3).
P2
P1 l
Рис.4.2.3. Оптическая длина луча в однородной среде.
Оптическая длина луча в однородной среде:
Оптическая длина луча в однородной среде – это произведение геометрической длины пути луча l на показатель преломления n среды, в которой распространяется свет:
[P1P2 ]= nl |
(4.2.4) |
Если среда является неоднородной (n(x, y, z)≠ const), то путь луча можно разбить на бесконечно малые отрезки dS , в пределах каждого из которых показатель преломления можно считать постоянным (рис.4.2.4).
53
dS |
P2 |
|
P1
Рис.4.2.4. Оптическая длина луча в неоднородной среде.
В этом случае оптическая длина луча вычисляется как криволинейный интеграл:
P |
|
[P1P2 ]= ∫2 n dS |
(4.2.5) |
P1 |
|
Если есть несколько однородных сред, разделенных границами (рис.4.2.5), то оптическая длина луча вычисляется как сумма оптических длин лучей в каждой среде:
[P1P2 ]= ∑lk nk |
|
|
(4.2.6) |
|
n0 |
n1 |
nk |
P |
l0 |
l |
P2 |
1 |
1 |
lk |
|
|
|
Рис.4.2.5. Оптическая длина луча в нескольких средах.
Если среды неоднородные, то можно пользоваться выражением (4.2.5), считая интеграл по ломаной линии.
4.2.3. Конгруэнция лучей
Пучок лучей – это множество линий, пронизывающих пространство. Но не каждое множество кривых или прямых линий, пронизывающих пространство, можно назвать пучком лучей. Для того чтобы множество линий образовывало пучок лучей, нужно чтобы это множество составило конгруэнцию.
Конгруэнция – это такая совокупность линий в пространстве, для которой выполняется условие, что через любую точку пространства можно провести только одну линию из этой системы (рис.4.2.6).
54