Технологическая цепочка обучения решению уравнений

Замечание: аналогическая цепочка строится для обучения решению неравенств с дополнительным использованием при этом сравнения с уравнениями.

Вопрос о равносильности уравнений

Равносильность сохраняется Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение равносильное данному. (Обобщение первого свойства уравнений, 6 класс.) f(x) = g(x)  f(x)- g(x)=0 Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному. f(x) = g(x)  (f(x))2b-1 = =(g(x))2b-1 af(x) = ag(x)  f(x) = g(x) (a > 0, a1) Появляется теоретически в 10-11 классах после изучения показательной функции, перед решением показательных уравнений.

Равносильность может быть нарушена 1. Если обе части уравнения умножить на h(x), то f(x) = g(x) ? h(x)f(x) = h(x)g(x)  2. Если обе части уравнения возвести в четную степень. f(x) = g(x) ? (f(x))2b = (g(x))2b 

Специальные приемы решения задач по теме

Тип задачи	Алгоритм выполнения приема
1	2
Поиск решения уравнения (неравенства, системы, совокупности)	Определить по виду уравнения (неравенства, системы, совокупности) и прикидкой, каким методом можно воспользоваться. Вспомнить известный (специальный или общий) прием использования этого метода и соотнести его с данным уравнением (неравенством, системой, совокупностью). Определить возможные затруднения при использовании одного метода решения. определить возможность и необходимость комбинации различных методов решения. Разделить предполагаемый ход решения на части, соответствующие применению каждого метода, составить план решения каждой из них. Составить общий план решения в целом.
Решение уравнения (неравенства, системы, совокупности) алгебраическим методом	Определить, является ли данное уравнение (неравенство, система, совокупность) простейшими какого-либо вида (если «да», то выполнить п. 5, если «нет» - п. 2). Определить, если необходимо, ОДЗ уравнения (неравенства, системы, совокупности). Установить, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные и равносильные (общие или специальные для данного вида уравнений или неравенства) преобразований, чтобы привести данное уравнение (неравенство, систему, совокупность) к простейшим данного вида. Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие приемы. Решить известным способом (по формулу, алгоритму), полученные уравнение (неравенство, систему, совокупность). Если необходимо сделать проверку и исследование. Записать ответ, используя принятые приемы записи (в виде равенств, промежутков, их объединений или пересечений).
1	2
Специализация общего приема на основе конкретизации третьего этапа решения уравнений и неравенств алгебраическим методом	На примере показательных уравнений и неравенств. Определите, является ли это уравнение (неравенство) простейшим вида (или): если «да», то п. 4, если «нет», - п. 2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования (общие для всех уравнений или неравенств или специальные, основанные на свойствах степени или показательной функции), чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшему. С помощью выбранного преобразования привести уравнение (неравенство) к простейшему виду. Заменить уравнение (неравенство) равносильным алгебраическим уравнением (неравенством: при-или; при-или). Решить полученное уравнение (неравенство), используя соответствующий прием. Если нужно, сделать проверку и исследование. Записать ответ. Замечание: Аналогичны приемы решения целых, дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств.
1	2
Решение уравнения (неравенства) графическим методом	Определить, можно ли преобразовать каким-либо способом уравнение (неравенства) к виду (). Если п. 1 имеет место выполнить преобразования, выбрав инаиболее простого вида. Построить графики функций ив одной системе координат. Найти абсциссы точек пересечения графиков, каждая из них – корень данного уравнения. Найти промежутки на оси абсцисс, для которых график функции расположен выше графика функции, каждый из них есть решение данного неравенства. Записать ответ.
	Определить, можно ли каким-либо способом преобразовать неравенство к виду или. Если п. 1 имеет место, выполнить преобразование, выбрав наиболее простого вида. Найдите корни функции в области ее непрерывности и точки разрыва, если они существуют. Отметить полученные значения на числовой оси. Определить знак функции на каждом из полученных интервалов числовой оси (вычислением значения функции в удобной точке интервала или на основании теоремы о свойстве непрерывной функции). Выбрать интервалы, на которых функция принимает нужное по знаку значение и записать ответ.