Сравнение задач на нахождение и задач на доказательство

Задачи на нахождение

Задачи на доказательство

Цель «задачи на нахождение» — определить ка­кой-нибудь элемент, неизвестное задачи.

Неизвестное также называется «quaesitum» или «искомое», или «то, что требуется найти». «Задачи на нахождение» могут быть теоретическими или практи­ческими, отвлеченными или конкретными, серьезными или всего лишь развлекательными головоломками. Ис­комыми могут быть всевозможные неизвестные. От нас может потребоваться найти, получить, приобрести, про­извести или построить всякого рода объекты.

«Задачи на доказательство» имеют своей целью доказать, что определенное четко сформулированное утверждение верно или же неверно. От нас требуется ответить на вопрос: данное утверждение верно или неверно? В заключение своего решения мы должны получить окончательный ответ, доказав справедливость утверждения или его ошибочность.

Главными элементами «задачи на нахождение» являются неизвестное, данные и условия.

Если «задача на доказательство» является мате­матической задачей обычного типа, то ее главными частями являются предпосылка (hypothesis) и заключе­ние (conclusion) теоремы, которую мы должны доказать или опровергнуть.

[Не все математические теоремы могут быть естест­венным образом разбиты на предпосылку и заключе­ние. Так, например, вряд ли возможно таким образом разделить следующую теорему: «Количество простых чисел бесконечно».]

Если вы хотите решить «задачу на нахождение», вы должны знать, и при том совершенно точно, ее главные элементы — неизвестное, данные и условия. В нашей таблице представлено много вопросов и сове­тов, связанных с этими элементами.

Что неизвестно? В чем состоит условие? Что дано?

Разделите условие на части.

Найдите связь между данными и неизвестными.

Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь припом­нить знакомую задачу с тем же или подобным неиз­вестным. Сохраните только часть условий, отбросив остальные; в какой мере теперь определяется неизвестное? Как можно его варьировать? Сумеете ли вы вывести что-нибудь полезное из данных? Сможете ли вы придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Сможете ли изменить неиз­вестное или данные, а если необходимо — и то и дру­гое, чтобы новое неизвестное и новые данные стали ближе друг к другу?

Все ли данные вы использовали?

Все ли условия вы использовали?

Если вы хотите решить «задачу на доказательст­во», то должны знать, и при том совершенно точно, ее главные элементы — предпосылку и заключение. В на­шей таблице имеются полезные вопросы и относительно этих элементов задачи, но у нас они приспособлены к «задачам на нахождение». Соответствующие вопросы и советы к «задачам на доказательство» будут:

В чем состоит предпосылка? Каково заключение?

Расчлените предпосылку на части.

Найдите связь между предпосылкой и заключением.

Рассмотрите заключение. Постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или подобным заключением.

Сохраните только часть предпосылки, отбросив ос­тальные.

Заключение по-прежнему обоснованно?

Сможете ли вы вывести что-нибудь полезное из предпосылки? Сможете ли вы придумать другую пред­посылку, из которой смогли бы легко вывести такое заключение?

Сможете ли вы изменить предпосылку или заключе­ние, а если необходимо и то и другое вместе, чтобы новая предпосылка и новое заключение стали ближе друг к другу?

Использовали ли вы всю предпосылку?