5. Дифференциальные зависимости при изгибе.

Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис. 30). Распределенную нагрузку будем считать положительной, если она направлена вверх (т.к. в этом случае она сжимает верхние волокна и дает положительное слагаемое в выражении для изгибающего момента.

Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов, элемент балкидлиной. Он находится в равновесии под действием внешней нагрузки, поперечных сил и изгибающих моментов в сеченияхи. В сеченииимееми, а в сечении-и(рис. 31).

Запишем условия равновесия выделенного элемента:

,

Рис. 31.

.

(1)

,

Пренебрегая членом как бесконечно малым, получим:

(2)

Из формул (1) и (2) следует, что

(3)

Формулы (1) - (3) называются дифференциальными зависимостями при изгибе.

Некоторые особенности эпюр Q и М.

1. На участке балки, свободной от равномерно распределенной нагрузки , эпюра- прямая, параллельная оси балки, эпюра- наклонная прямая.

2. На участке, где действует распределенная нагрузка , эпюра- наклонная прямая, эпюра- парабола, выпуклость которой направлена в сторону, противоположную интенсивности распределенной нагрузки(зонтиком).

3. В сечении, где эпюра пересекает ось балки, на эпюре- экстремум.

4. В сечении, где приложена сосредоточенная сила , на эпюре- скачок, равный по величине, на эпюре- перелом.

5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент , на эпюре- никаких изменений, на эпюре- скачок, равный по величине.

6. На участках, где , эпюра- возрастает, где, эпюра- убывает.

7. Эпюра представляет собой производную от эпюры, следовательно, эпюруможно проверить по площади эпюры.

Растяжение и сжатие

1. Напряжения в поперечных сечениях

Растяжение и сжатие стержня вызывается силами, действующими вдоль его оси. В поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор - продольная сила .

Рассечем стержень произвольным поперечным сечением 1-1 (рис. 32). Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Продольная силаявляется равнодействующей внутренних сил в сечении. Интегральная зависимость между нормальными напряжениямии продольной силой:

.

Для построения теории напряженного состояния стержня при растяжении пользуются следующей системой гипотез:

1. При растяжении или сжатии стержня осевыми силами поперечные сечения, достаточно ударенные от точек приложения внешних сил, остаются при деформации плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации (гипотеза плоских сечений).

2. Продольные волокна при деформации не давят друг на друга (не взаимодействуют).

На основании этих гипотез можно сделать вывод, что все точки какого-либо сечения находятся в равных условиях, и, следовательно, внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек будет одним и тем же:

.

Растягивающее напряжение считается положительным, а сжимающее отрицательным.

Касательные напряжения в поперечных сечениях равны нулю.