Скачиваний:
197
Добавлен:
22.01.2014
Размер:
11.85 Mб
Скачать

3. Главные напряжения. Главные площадки.

Каково бы ни было напряженное состояние в рассматриваемой точке, всегда существуют три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют стационарные значения (максимум, минимум, минимакс).

Эти площадки называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Исходя из определения, найдем главные напряжения и положения главных площадок. Предположим, что главная площадка существует. Пусть это будет площадка с нормалью (рис. 82). Главное напряжение обозначим . Тогда

Рис. 82.

Подставляя вместо из значения получим:

Система уравнений содержит четыре неизвестных величины:

и .

(6)

Эта система трех однородных линейных уравнений, имеет решение отличное от нуля только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю.

.

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение для .

Следовательно, высказанное вначале утверждение справедливо

Главные напряжения впредь будем обозначать: .

4. Инварианты тензора напряжений.

Вокруг рассматриваемой точки (рис.1), можно вырезать бесчисленное множество бесконечно малых элементов (параллелепипед), грани которых будут различно ориентированы по отношению к осям координат. При изменении ориентации граней параллелепипеда компоненты тензора напряжений будут меняться. Но независимо от способа вырезания элемента вокруг данной точки подстановка значений компонент напряжения в уравнение (6) должна дать одни и те же значения главных напряжений, т. к. последние определяются характером напряженного состояния. Коэффициенты уравнения (6) называются инвариантами напряженного состояния .

Перепишем уравнения (6) в виде

- первый, второй, третий инварианты напряженного состояния или инварианты тензора напряжений.

(7)

(8)

(9)

В теории напряжений, а так же в теории деформации инварианты являются основными характеристиками напряженного и деформированного состояния в точке. Компоненты тензора напряжений как величины, связанные с осями координат, считаются вспомогательными.

В некоторых случаях инварианты тензора напряжений могут принимать нулевые значения.

1.. Один из корней уравнения (6) так же равен нулю.

Имеет место плоское напряженное состояние (рис. 83).

2

Рис. 83.

. два корня уравнения (6) равны . В этом случае имеет место линейное напряженное состояние (рис. 84).

3. Объемное напряженное состояние (рис. 85).

5.Октаэдрические напряжения.

В исследовании вопроса прочности материала наряду с главными плоскостями и плоскостями главных касательных напряжений, существенное значение имеют плоскости, пересекающие главные оси под одинаковыми углами. Такие плоскости называются октаэдрическими (рис 86).

Вычислим нормальное и касательное напряжение по октаэдрической площадке. Оси координат направим вдоль главных напряжений. Направляющие косинусы нормали к октаэдрической площадке равны между собой.

Проекции полного напряжения на оси будут определяться по формуле (3):

Величина полного напряжения определиться:

Нормальное напряжение на той же площадке определяется согласно формуле (4).

(7)

Воспользовавшись формулой (5), определим касательное напряжение на октаэдрической площадке:

или

(8)

Касательное напряжение, определяемое формулой (9) называется октаэдрическим касательным напряжением или интенсивностью касательных напряжений.

В теории пластичности октаэдрическое касательное напряжение является основным фактором, определяющим характер развития пластической деформации.

(9)

- интенсивность нормальных напряжений.

(10)