5. Понятие о начальных параметрах.

Начальными параметрами называют геометрические параметры и силовые факторы в начале координат. Рассмотрим деформацию балки, представленной на рис. 75. При определении прогибов будем использовать два начальных параметра:

–прогиб в начале координат,

–угол поворота сечения в начале координат.

Постоянные интегрирования и можно выразить через начальные параметры

Рис. 75.

Подставим граничные начальные условия

Получили, что:

постоянная пропорциональна углу поворота в начале координат,

постоянная пропорциональна прогибу в начале координат.

6. Универсальное уравнение прогибов. (Уравнение метода

начальных параметров)

При интегрировании дифференциального уравнения упругой линии приходится вычислять однотипные интегралы. Для типовых нагрузок можно интегрирование выполнить в общем виде и получить уравнение упругой линии.

Рассмотрим часть балки (рис. 76) с характерными нагрузками и (нагрузки все выберем так, чтобы они давали положительный изгибающий момент).

Записываем выражение для изгибающего момента в сечении :

Рис. 76.

Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид:

Интегрируем два раза, не раскрывая скобок, и выразив постоянные интегрирования через начальные параметры:

Учитывая, что на балке может быть несколько однотипных нагрузок, введем знак суммы и запишем универсальное уравнение прогибов и углов поворота в виде:

Правила применения универсального уравнения:

1. Предварительно должны быть определены опорные реакции для любой балки;

2. Начало координат выбирается на конце балки:

• если есть заделка, то в заделке,

• если на конце есть опора, то на опоре,

• если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

3. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша.

4. Положительными считаются нагрузки, создающие относительно сечения положительный изгибающий момент.

7. Примеры определения прогибов, расчет на жесткость.

Для заданной балки (рис. 77) определить прогибы в сечениях и и проверить выполняется ли условие жесткости, если допустимый прогиб

1. Определяем реакции

2. Записываем универсальное уравнение прогибов с учетом заданных нагрузок.

Н

Рис. 77.

ачало координат выберем в заделке.

, так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю.

3. Определяем прогиб в точке . Учитываем нагрузки, расположенные на участке , по чертежу .

,

знак минус указывает на то, что прогиб направлен вниз.

3. Определяем прогиб в точке :

.

3. Проверка балки на жесткость.

Условие жесткости ограничивает деформацию балки и записывается в виде:

.

По условию

В данном случае максимальный прогиб в точке . Сравниваем

Условие жесткости выполняется.