4. Интеграл Мора для вычисления перемещений

произвольно нагруженных брусьев

Вывод формулы проводится для случая плоского изгиба, соответственно учитывается только изгибающий момент . В общем случае нагружения рассуждения аналогичны.

Постановка задачи:

Задана произвольная упругая система, загруженная силами . Требуется определить перемещение произвольной точки в заданном направле-

нии .

Для вывода формулы кроме заданной рассмотрим вспомогательную единичную систему, которая представляет собой заданную упругую систему (рис. 105), к которой по направлению искомого перемещения приложена единичная сила .

Введем обозначения:

в заданной системе -

изгибающий момент -

работа внешних сил -

энергия деформации -

-

в единичной системе -

изгибающий момент -

работа силы -

энергия деформации -

-

По первому свойству упругих систем справедливы равенства:

Вывод формулы:

Загрузим систему последовательно сначала единичной силой , а затем, не снимая ее, заданными силами . Из равенства энергии и работы после двух нагружений можно найти перемещение.

Работа после первого нагружения ,

после второго нагружения ,

суммарная ,

Изгибающий момент после двух нагружений

Вычисляем

Приравниваем

;

По аналогии можно вывести формулу интеграла Мора для всех случаев нагружения.

5. Частные случаи записи интеграла Мора

При расчете разных упругих систем учитывают соответствующие силовые факторы, поэтому используют разные формы записи интегралов Мора.

1. Для шарнирных стержневых систем:

2. Для плоских балок, рам и кривых брусьев

3. Для пространственных систем

6. Порядок определения перемещений по интегралу Мора

Для определения перемещений надо рассмотреть заданную и единичную системы. При определении линейного перемещения по направлению искомого перемещения прикладывается единичная сила, а при определении угла поворота сечения – единичный момент.

В

Рис. 106.

ычерчиваем заданную и вспомогательную системы (рис. 106), разбиваем их на участки. Границы участков в обеих системах должны совпадать. Для двух систем по участкам записываем выражения силовых факторови составляем интегралы Мора, вычислив которые, получим величину искомого перемещения.

Участок :Участок:

;

7. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора ("перемножение" эпюр)

Интеграл Мора содержит силовые факторы от заданной нагрузки и единичных сил. Метод Верещагина основан на том, что эпюра от единичной силы и момента всегда прямолинейна, никогда не бывает параболы. Жесткость по участкам должна быть постоянной, чтобы ее можно было вынести за знак интеграла.

Вывод проводим на примере эпюр изгибающих моментов (рис. 107), но результат справедлив для любых эпюр, из которых одна линейная.

Постановка задачи: на участке балки с постоянной жесткостьюзаданы эпюрыи. Эпюраимеет произвольное очертание, эпюра- прямая линия без изломов.

Требуется вычислить интеграл

Вычисления:

Получено выражение, позволяющее вычислять интеграл Мора геометрически. Этот способ вычисления называется методом Верещагина.

Правило: Чтобы вычислить интеграл Мора по способу Верещагина нужно построить эпюры подинтегральных функций и, а затем площадь эпюры, обозначаемую, умножить на ординату с эпюрырасположенную под центром тяжести площади, обозначенную -.

Примечание: Если обе "перемножаемые" эпюры прямолинейные, то, можно, наоборот, площадь брать с эпюры , а ординату с эпюры_.

.