3. Расчет балок на прочность

Детали машин и элементы конструкций, работающие на изгиб, рассчитываются на прочность по допускаемым напряжениям. Условие прочности записывается в виде:

или ,

где - наибольшее нормальное напряжение, возникающее в сечении, где действует наибольший изгибающий момент(в опасном сечении) в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси;

- момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси;

- допускаемое нормальное напряжение, определяемое

- для пластичных материалов , где:

- предел текучести материала; - коэффициент запаса по пределу текучести;

- для хрупких материалов , где

- предел прочности материала; - коэффициент запаса по пределу прочности.

Короткие балки при расчете на прочность рассчитываются и по наибольшим касательным напряжениям. При этом условие прочности по нормальным напряжениям дополняют условием прочности по касательным напряжениям:

.

Это условие формулируется для сечений, где действует максимальная поперечная сила для точек, лежащих на нейтральной оси, где- допускаемое касательное напряжение;

- для пластичных материалов , - для хрупких материалов, где,- предел текучести и предел прочности материала при чистом сдвиге, которые определяются опытным путем при кручении тонкостенной трубки.

4. Рациональные формы поперечных сечений балки

Нормальные напряжения при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях его экономии и снижения веса конструкций следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси. Таким образом, наиболее рациональным сечением из представленных является двутавровое, а наименее рациональным - круглое (рис. 66).

Расположение прямоугольника и двутавра при вертикальной силовой плоскости более выгодно как показано на рис. 67а, чем на рис. 67б, так как наибольшая часть материла на рис. 67а наиболее удалена от нейтральной оси.

Перемещения при изгибе.

1. Основные понятия.

Рассмотрим схему деформации балки (рис. 68).

–ось бруса (балки) до деформации прямая линия, – изогнутая ось бруса, называемая упругой линией.

Деформация изгиба характери­зуется двумя параметрами: прогибом и уг­лом поворота сечения.

П

Рис. 68.

рогибом называется перемещение центра тяжести сечения балки в направлении, перпендикулярном начальной оси.

Обозначения:

Свяжем с балкой систему координат . По рисунку видно, что величина прогиба изменяется при изменении координаты сечения

- уравнение упругой линии (кривой )

После деформации все поперечные сечения остаются перпендикулярными оси, то есть все они повернутся на некоторый угол . Величины углов зависят от положения сечений, т.е. от координаты .

- уравнение углов поворота.

Прогиб и угол поворота связаны между собой дифференциальной зависимостью. Проводим касательную к упругой линии в сечении , она составляет с осью угол . Из математики известно:

Ввиду малости деформаций . Откуда .

Производная от прогиба равна углу поворота сечения.