5.5. Теорема о сложении ускорений при непоступательном переносном движении (теорема Кориолиса)

Рассмотрим движение точки М, когда подвижная система отсчета Оxyz движется непоступательно (орты ,,не являются постоянными величинами по модулю и по направлению). Определим абсолютное ускорение этой точки.

Абсолютная скорость точки М будет равна , продифференцируем данное выражение по времени и получим:

.

Т.к. относительная скорость точки М равна , то:

,

где – относительное ускорение точкиM;

также принимая во внимание, что ,,, получим:

,

а так как , то.

Продифференцировав по времени , получим:

.

Рассмотрим каждое слагаемое по-отдельности:

–ускорение полюса О.

Принимая во внимание, что:

,

а также и(значения данных производных получены аналогично), получим:

.

Преобразовываем третье слагаемое из выражения для производной от переносной скорости (учитывая, что ,,):

,

а т.к. ,и, тогда

.

Подставляя преобразованные выражения для слагаемых производной от переносной скорости в исходное уравнение, получаем:

.

В данном уравнении первые три слагаемых – есть переносное ускорение точки М, состоящее из:

–ускорение полюса О;

–касательная составляющая переносного ускорения;

–нормальная составляющая переносного ускорения.

Таким образом: , следовательно:.

Подставим полученные выражения для производных от относительной и переносной скоростей в исходное выражение для абсолютного ускорения точки М:

, или

.

Третье слагаемое в правой части уравнения – есть поворотное ускорение (ускорение Кориолиса), т.е. .

Окончательно получим выражение абсолютного ускорения при непоступательном переносном движении:

.

При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса.

Такие векторные равенства обычно решают графически или аналитически способом проекций, тогда модуль абсолютного ускорения равен: , где- проекции абсолютного ускорения на оси координат.

5.6. Определение модуля и направления ускорения Кориолиса

При определении абсолютного ускорения в случае непоступательного переносного движения одной из его составляющих является вектор ускорения Кориолиса. Данным ускорением обладают точки (тела), движущиеся по поверхности Земли, например, частицы воды в реках, поезда, автомобили и т.д. Появление данного ускорения обусловлено двумя причинами: 1) вследствие относительного движения точки, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета, изменяется переносная скорость точки; 2) вследствие вращательного переносного движения дополнительно изменяется направление относительной скорости по отношению к неподвижной системе отсчета. Например, когда человек идет равномерно вдоль радиуса равномерно вращающейся платформы, то, связав платформу с подвижной системой отсчета, мы можем видеть, что и вектор и векторбудут все время меняться. Как было ранее показано, вектор ускорения Кориолиса определяется по формуле:, а модуль ускорения Кориолиса рассчитывается как модуль данного векторного произведения:

.

Направлен вектор так же, как и вектор, т.е. перпендикулярно плоскости, проходящей через векторыи, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещениеивидно происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 66. Построение вектора ускорения Кориолиса

На рис. 66 видно, что направление вектора можно определить, спроецировав векторна плоскость, перпендикулярную векторуи повернув эту проекциюна угол 90º в сторону переносного вращения (правило Жуковского).

Из выражения модуля ускорения Кориолиса видно, что оно может обратиться в ноль в следующих случаях:

1) , т.е. когда переносное движение является поступательным, или переносная угловая скорость в данный момент времени обращается в ноль;

2) , т.е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в ноль;

3) когда ||, т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения, или если в данный момент времени векторпараллелен данной оси.

П

Рис. 67. Пример определения направления

ример. Определим направление вектора ускорения Кориолиса точки М, движущейся с относительной скоростью по образующей кругового конуса под углом α от его вершины к основанию (рис. 67). Конус вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростьюв направлении, указанном на рисунке.

Решение. При решении используем правило Жуковского. Спроецируем вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения конуса. Проекция вектора относительной скоростисовпадет по направлению с нормальюCN, проходящей через точку М и центр С описываемой окружности той точки конуса, с которой совпадает точка М. А затем повернем проекцию на угол 90º в сторону вращения– вектор ускорения Кориолиса построен.