3.4.4. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Рис. 39. Определение линейных скоростей точек при помощи МЦС

Понятие МЦС удобно использовать при определении скоростей точек плоской фигуры.

Возьмем за полюс точку Р, тогда , но, поэтому. Тогда

, и т.д.

Скорость любой точки плоской фигуры равна ее линейной скорости при вращении этой фигуры вокруг МЦС (рис. 39).

.

Положение мгновенного центра скоростей можно определить, если известны:

а) угловая скорость плоской фигуры и скорость какой-либо ее точки;

б) направление скорости каких-либо двух ее точек;

в) точка, скорость которой в данный момент равна нулю.

3.4.5. Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

Известны следующие случаи определения положения МЦС (см. табл. 10).

Таблица 10

Различные случаи определения положения мцс

№	Исходные данные и пояснения	Иллюстрация
1	Тело катится без скольжения по неподвижной поверхности (или плоскости). МЦС находится в точке контакта тела с неподвижной поверхностью
2	Известна скорость какой-либо точкиАи угловая скоростьплоской фигуры. Вектор повернуть на угол 90º по направлению вращения и отложить на полученном перпендикуляре отрезок АР= vA/.
3	Известны направления скоростей двух точек А и В (векторы ине параллельны). МЦС находится на пересечении перпендикуляров, проведенных из точек А и В к направлениям скоростей исоотвественно.

Продолжение табл. 10

№	Исходные данные и пояснения	Иллюстрация
4	Известны скорости двух точек АиВ, причеми направлены в разные стороны. МЦС находится в точке пересечения прямой АВ и прямой, соединяющей концы векторов , отложенных в масштабе. Положение МЦС можно определить аналитически из выражения: .
5	Известны скорости двух точек АиВ, причем, направлены в одну сторону и неравны по модулю. МЦС находится в точке пересечения прямой АВ и прямой, соединяющей концы отложенных в масштабе векторов . Положение МЦС можно определить аналитически из выражения: .
6	Известны скорости двух точек, причем , направлены в одну сторону и равны по модулю. МЦС находится в бесконечности (не существует). Тело совершает мгновенно-поступательное движение, линейные скорости всех точек твердого тела в данный момент времени имеют одинаковые линейные скорости, т.е.,.

3.5. Определение ускорений точек плоской фигуры

3.5.1. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры

Согласно рассмотренному ранее, движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Покажем, что ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорений, которые точка получает в каждом из этих движений.

Положение точки В (согласно рис. 35) можно определить по формуле:

,

где – радиус-вектор полюсаА, – вектор, определяющий положение точкиВ относительно полюса А.

Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры:

, или .

Очевидно, что ускорение точки В будет равно:

,

где – ускорение полюсаА. Т.к. и исходя из свойств плоской фигуры, можно утверждать, что–ускорение точкиВ в ее вращательном движении вокруг полюса А.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения этой точки в ее врщении вместе с фигурой вокруг полюса:

.

Следовательно, ускорение некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются и(рис. 40).

Рис. 40. Построение вектора ускорения точки В

При решении задач вектор раскладывают на составляющие:

,

где – касательная составляющая ускорения (и направлен в сторону вращенияна рис. 41, 42);

–нормальная составляющая ускорения (всегда направлен из точкиВ к полюсу А).

Модуль полного ускорения определяют по формуле:

.

Рис. 41. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай ускоренного вращения)	Рис. 42. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай замедленного вращения)

При графическом определении ускорения точки В удобно пользоваться углом , тангенс которого находят из выражения:

.

Если известны траектории полюса Aи точкиB, ускорение которой надо найти, то ускорения этих точек для удобства вычисления раскладывают на нормальные и касательные составляющие. Тогда теорема об ускорениях точек плоской фигуры примет развернутый вид:

.

Таким образом, для определения ускорения произвольной точки Внеобходимо знать ускорение какой-либо точки плоской фигурыА, принимаемой за полюс, угловую скоростьплоской фигуры и ее угловое ускорениев данный момент времени.

Модуль ускорения точки В(или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:

• графически;

• аналитически (способом проекций): ,

где а_Вх,а_Ву– проекции ускорения точкиВна заранее выбранные осихиупрямоугольной системы координат.