Глава 3. Плоскопараллельное движение твердого тела

3.1. Общие сведения о плоскопараллельном движении твердого тела

Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором каждая его точка перемещается параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Рассмотрим перемещения точек, лежащих на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости II (рис. 30). Пусть отрезок определяет положение перпендикуляра к плоскости II в начальный момент времени, а отрезок – после перемещения тела. Так как(по определению), а отрезокперпендикулярен плоскостиII (исходя из свойств твердого тела), получим, что:

.

Следовательно, точки иперемещаются одинаково и поэтому все другие точки, лежащие на перпендикуляре, также будут перемещаться одинаково.

Рис. 30. Плоскопараллельное движение твердого тела	Рис. 31. Задание движения сечения Sв плоскостиОхy

Поэтому при изучении плоскопараллельного движения нет необходимости изучать движение всех точек тела, а достаточно рассмотреть движение точек, расположенных в сечении тела, т.е. сечения.

Совместим сечение с плоскостью, которая параллельна неподвижной плоскостиII и находится в плоскости I (рис. 30). Положение сечения можно определить по положению отрезка, проведенного в этом сечении (рис. 31).

В свою очередь положение отрезка можно определить, зная координаты точкии угол, который отрезокобразует с осьюx. При движении параметры ,ибудут изменяться. Чтобы задать закон движения тела, то есть знать положение тела в любой момент времени, необходимо знать зависимости:

, ,–уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости (уравнения плоскопараллельного движения твердого тела).

Покажем, что плоскопараллельное движение слагается из поступательного и вращательного движения.

Рассмотрим два последовательных положения I и II, которое занимает сечение в моменты времении(рис. 32).

Рис. 32. Плоскопараллельное движение сечения S

Сечение можно перевести из положенияI (которое определяется положением отрезка ) в положениеII следующим образом. Переместим сечение сначала поступательно вместе с отрезком (точка займет положение точки), при этом отрезокпереместится в положение. Затем повернем сечение вокруг полюсана угол(отрезокзаймет окончательное положение).

Таким образом, можно сделать вывод: плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как и полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорениеполюсаА, а также угловая скорость и угловое ускорениевращательного движения вокруг этого полюса.

Поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

3.2. Определение траекторий точек плоской фигуры

Рассмотрим точку М плоской фигуры, положение которой определяется отрезком АМ равным b и углом ВАМ равным α (рис. 33).

Рис. 33. К определению траекторий точек плоской фигуры

Координаты x и y точки М будут равны:

, ,

где ,,– известные по ранее записанным уравнениям функции времениt. Данные уравнения выражают закон движения точки и одновременно выражают уравнения траектории в параметрической форме. При плоском движении плоской фигуры ее точки будут иметь различные траектории (в противном случае движение было бы поступательным).

Пример. В механизме, изображенном на рис. 34, стержень МС проходит через поворотный ползун в точке А, а в точке В – шарнирно закреплен на ползуне, движущемся по прямолинейной вертикальной направляющей. Составить уравнения движения точки М, если АО = а, ВМ = b, а положение стержня МС определяется углом φ.

Рис. 34. Расчетная схема механизма

Рассмотрим точку М плоской фигуры, положение которой определяется геометрическими параметрами механизма и углом (рис. 34).

Координаты точки М в осях Oxy будут следующими:

; , отсюда

Используем основные тригонометрические тождества:

; , получим:

.

Окончательно:

Точка М движется по кривой, называемой конхоидой Никомеда.

Таким образом, если рассматривается движение звена какого-нибудь механизма, то для определения траектории любой точки этого звена достаточно выразить ее координаты через какой-нибудь параметр, а затем исключить этот параметр из полученных параметрических уравнений движения.