3.3. Примеры плоскопараллельного движения твердых тел

Плоскопараллельное движение совершают многие звенья механизмов и машин (см. табл. 9).

Таблица 9

Примеры плоскопараллельного движения звеньев механизмов

№	Наименование	Иллюстрация
1	Катящееся колесо
2	Зубчатое колесо 1, перемещающееся между рейками 2 и 3
3	Ступенчатый барабан
4	Шатун АВ в механизме эллипсографа

Продолжение табл. 9

№	Наименование	Иллюстрация
5	Колесо 1 планетарного механизма, катящееся внутри неподвижного колеса 2

3.4. Определение скоростей точек плоской фигуры

3.4.1. Теорема о скоростях точек плоской фигуры

Движение плоской фигуры складывается из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как и полюс и вращательного движения вокруг полюса.

Покажем, что скорость любой точки плоской фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Дана плоская фигура, расположенная в плоскости Оху (рис. 35).

Рис. 35. Плоская фигура в плоскости Оху

Положение полюса А определяется радиусом-вектором . Тогда положение точкиВ это фигуры можно определить как векторную сумму:

,

где – вектор, определяющий положение точкиВ относительно полюса А.

Продифференцировав данное равенство по времени, получим выражение для скорости точки В: ,

где – скорость полюсаА,

–скорость точки В относительно полюса А.

Так как , томеняется только по направлению. Это означает, что точкаВ совершает вращение вокруг полюса А. Поэтому и. Таким образом, получаем формулу, выражающуютеорему о скоростях точек плоской фигуры:

скорость любой точки плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки, принятой за полюс, и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.

Следовательно, скорость некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются векторы , перпендикудярный отрезкуАВ и сонаправленный с угловой скоростью ω, и (рис. 36).

Рис. 36. К доказательству теоремы о скоростях точек плоской фигуры

Модуль скорости точки В(или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:

• графически (по правилу треугольника или параллелограмма);

• аналитически, используя теорему косинусов:

.

• способом проекций: ,

где v_Bx,v_By– проекции скорости точкиВна заранее выбранные осихиудекартовой системы координат.

3.4.2. Теорема о равенстве проекций скоростей точек

Модуль скорости точки В можно также определить, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры, спроецировав векторное равенство на прямуюАВ (рис. 37):

Проекции скоростей двух точек А и В твердого тела на прямую АВ, соединяющую эти точки, равны (рис. 37).

Рис. 37. К доказательству теоремы о равенстве проекций скоростей

3.4.3. Теорема о существовании мгновенного центра скоростей

Пользуясь теоремой о скоростях точек плоской фигуры, покажем, что в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эту точку обычно обозначают буквой P и называют мгновенным центром скоростей (МЦС).

Пусть известны скорость точки А плоской фигуры и угловая скорость фигуры в некоторый момент времени. Примем точку А за полюс. Восстановим в точке А перпендикуляр к направлению так, чтобы направление поворота к этому перпендикуляру совпадало с направлением вращения фигуры. Скорость любой точки плоской фигуры, находящейся на этом перпендикуляре, будет равна:

и т.д.

Вращательные скорости всех точек этого перпендикуляра вокруг полюса А будут направлены противоположно скорости полюса А. На этом перпендикуляре, очевидно, найдется такая точка Р, вращательная скорость которой по модулю будет равна скорости полюса А, т.е. (рис. 38).

Рис. 38. К доказательству теоремы существования МЦС

Т.к. направления векторов этих скоростей противоположны (по построению), то:

.

Отсюда .Следовательно, точка Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры в данный момент времени.

При непоступательном движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый момент времени имеется единственная точка, неизменно связанная с этой фигурой, скорость которой равна нулю.

Т.к. , то, т.е. мгновенный центр скоростей лежит на перпендикуляре к вектору скорости данной точкиА на расстоянии от этой точки.