3.6. Пример выполнения расчетно-графической работы по теме «Плоскопараллельное движение твердого тела»

У

Рис. 46. Исходная схема

словие: Механизм (рис. 46) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами. Определить скорости точек В и Е, угловую скорость звена DE, а также ускорение точки B и угловое ускорение звена АВ.

Исходные данные: α = 60°, β = 150°, γ = 90°, φ = 30°, θ = 30°,

AD = DB, l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, ω₁ = 2 с^-1,

ε₁ = 7 с^-2 (направления ω₁ и ε₁ – против хода часовой стрелки).

Найти: v_B, v_E , ω₂, а_В, ε₃.

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.47; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем v_B. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v_B, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление ω₁, можем определить численно:

м/с; .

Направление найдем, учитывая, что точкаВ принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль его направляющих поступательно. Теперь, зная и направление, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержняАВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и м/с.

Рис. 47. Схема к определению скоростей точек плоской фигуры

3. Найдем . ТочкаЕ принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точкиD, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержняАВ; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и, восставленных из точекА и В (к перпендикулярен стержень1). По направлению вектора определяем направление поворота стержняАВ вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезкуС₃D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:

Чтобы вычислить С₃D и С₃В, заметим, что ΔАС₃B – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С₃В = AB·sin30° = 0,5·АВ = =BD. Тогда ΔBС₃D является равносторонним и С₃В = С₃D. В результате:

м/с; .

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восстанавливая из точекЕ и D перпендикуляры к скоростям и, построим МЦСС₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержняDE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. 47 видно, что, откудаС₂Е = C₂D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

, м/с.

4. Вычислим ω₂. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и = 0,69 м, то

c^-1.

5. Определяем (рис. 48, на котором изображаем все векторы ускорений). ТочкаВ принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержняАВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно

м/с²

м/с²

Вектор направлен вдольAO₁, а – перпендикулярноАО₁; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. 48). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем векторна чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и.

Рис. 48. Схема к определению ускорений точек плоской фигуры

Для определения воспользуемся векторным равенством:

.

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя ω₃ с помощью построенного МЦС С₃ стержня 3, получим:

c^-1 и м/с².

Таким образом, из величин, входящих в векторное равенство, выражающее , неизвестны только числовые значенияи; их можно найти, спроецировав обе части данного равенства на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроецируем обе части векторного равенства на направлениеВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим:

.

Подставив в полученное равенство числовые значения всех величин, найдем, что

м/с².

Так как получилось > 0, то, следовательно, векторнаправлен как показано на рис. 48.

6. Определяем ε₃. Чтобы найти ε₃, сначала определим . Для этого обе части векторного равенства, выражающего, спроецируем на направление, перпендикулярноеАВ (ось у). Тогда получим:

Подставив в полученное равенство известные числовые значения, найдем, что = -3,58 м/с². Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. 48.

Теперь из равенства получим

с^-2.

Ответ: v_B = 0,46 м/с; v_E = 0,46 м/с; ω₂ = 0,67 с^-1; = 0,72 м/с²; =2,56с^-2.