4.2. Кинематические уравнения Эйлера

Для определения вектора найдем его проекции на подвижные оси Охуz (рис. 54). Этот вектор можно представить в виде:

,

где численно

, , .

Проецируя обе части векторного равенства на оси х, у, z, получим:

, ,.

Проекции векторов и находим сразу (согласно численным значениям слагаемых векторов и рис. 54):

, ,,,.

Для определения проекций вектора , проведем через оси Оz₁ и Оz плоскость, которая пересечется с плоскостью Оху вдоль линии ОL. Так как линяя ОК перпендикулярна плоскости zОz₁, то она перпендикулярна и линии OL (, a ). Тогда, проецируя вектор на линию OL, а эту проекцию в свою очередь на оси Ох и Оу, получим:

, ,.

Определив проекции всех слагаемых мгновенной угловой скорости тела на подвижные оси Оxyz, получим окончательно:

–кинематические уравнения Эйлера.

Рис. 54. Проекции вектора на подвижные оси координат

Аналогично можно найти проекции вектора на неподвижные оси Оx₁y₁z₁. Соответствующие формулы имеют вид:

Используя эти равенства, можно опре­делить проекции на неподвижные оси Оx₁y₁z₁ вектора . Так как , то

, ,

Эти проекции и определяют вектор . Таким образом, зная уравнения движе­ния твердого тела вокруг неподвижной точки, можно по полученным формулам найти и .

4.3. Скорости и ускорения точек тела

Так как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг кото­рой происходит элементарный поворот с угловой скоростью (рис. 55), то вектор скорости какой-нибудь точкиМ тела будет определяться в этот момент равенством , где – радиус-вектор, проведенный в точкуМ из неподвижной точки О. Вектор направлен перпендикулярно плоскости МОР, проходящей через точку М и ось ОР, в сторону поворота тела.

Численно , где h = МС – расстояние точки М до мгновенной оси.

Геометрически скорость любой точки М тела в данный­ момент времени можно найти, зная в этот момент скорость какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой точ­ки В этого тела. Пусть и направление известны. Проведем тогда через точку А плоскость 1, перпендикулярную вектору (рис. 56). Как было показано ранее (см. рис. 55), мгновенная осьОР должна лежать в этой плоскости.

Рис. 55. Вектор скорости точки исследуемого тела

hM

Рис. 56. Распределение линейных скоростей точек исследуемого тела

Но одновременно ось ОР должна лежать и в плоскости 2, проведенной через точку В перпендикулярно вектору . Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние h от точки А до оси ОР, найдем угловую скорость ω тела в данный момент времени: . После этого значение скорости любой точки М тела находится по формуле , а вектор будет направлен перпенди­кулярно плоскости ОМР (h_M – расстояние от точки М до оси ОР).

В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится.

Аналитически скорость определяют по ее проекциям на какие-нибудь координатные оси. Найдем проекции вектора на оси Охуz, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 55); эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, z точки М будут величинами постоянными. Так r_x = x, r_y = y, r_z = z, то по известной формуле векторной алгебры

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки, учитывая, что и что, следовательно, коэффициенты при ,,в этом разложения должны равняться,,соответственно, получим:

Эти формулы, также как и определяющие проекции вектора на подвижные оси Oxyz, называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей формулы с помощью круговой перестановки букв x, y, z.

В частном случае эти формулы справедливы и при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Так как при этом и , то для такого случая

, ,.

Определим теперь ускорение точки М. Из равенства , дифференцируя его по времени, найдем

Так как , а , то окончательно

.

У

Рис. 57. Определение векторов ускорений точек тела

скорениеназывают ещевращательным, а ускорение –осестремительным ускорением точки М. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор (рис. 57), а по модулю , гдеh₁ – расстоя­ние от точки М до вектора . Вектор же , перпендикулярный одно­временно и , будет направлен вдоль МС (рис. 57), причем по модулю , так как.

Заметим, что в отличие от результатов, полученных ранее, здесь не будет вообще вектором касательного ускорения точкиМ (по касательной направлен вектор , а направление вектора будет вообще другим); следовательно, и вектор не будет вектором нормального ускорения точки М.