2.2.8. Частные случаи вращательного движения тела

1. Равномерное вращение. При равномерном вращении тела , т.к., то. Проинтегрируем данное выражение в известных пределах:

, получим , или

–уравнение равномерного вращения тела.

При оно приобретает вид.

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Т.к. при одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах – на 2πn, этот поворот делается за t = 60с = 1 мин. Тогда:

2. Равнопеременное вращение. При равнопеременном вращении тела , т.к., то. Дважды проинтегрируем данное выражение в известных пределах:

, ,

Тогда , т.к., то

, ,.

Тогда , или

–уравнение равнопеременного вращения тела.

При оно приобретает вид,

а при и:.

Аналогия формул для вычисления кинематических характеристик вращательного движения тела и точек, принадлежащих этому телу, приведены в табл. 5.

Таблица 5

Кинематические характеристики вращательного движения тела и его точек

Кинематические характеристики	Формулы для точек	Расчетные формулы для тела
Закон движения
Модуль скорости
Модуль ускорения
Уравнение равномерного движения
Уравнение равнопеременного движения

Пример. Гребной винт судна, имеющий угловую скорость , останавливается через 16 с вследствие сопротивления воды и трения в подшипниках. Считая вращение винта равнопеременным, определить угловое ускорение и число оборотов, сделанных винтом до остановки.

Решение. Закон изменения угловой скорости гребного винта имеет вид:

.

В момент остановки , следовательно, тогда

(1/с²)

Закон равнопеременного вращения винта:, подставив полученное выражение, получим:

, (рад)

Т.к. угол поворота тела и количество его оборотов связаны соотношением , то число оборотов будет равно(оборотов).

Ответ: с^-2, об.

2.3. Передача движения

Передача вращательного движения от одного тела к другому осуществляется посредством зубчатых передач с внутренним (рис. 21, а) и внешним (рис. 21, б) зацеплением, а также цепных, ременных (рис. 22), фрикционных и других передач.

а) Внутреннее зацепление б) Внешнее зацепление

Рис. 21. Зубчатые передачи

В точках контакта (точка Кна рис. 21) скорости точек обоих тел равны:

,

где - угловые скорости тел1и2соответственно,- радиусы тел1и2.

Угловые скорости тел, находящихся в зацеплении, обратно пропорциональны их радиусам или числам зубьев: ,

где - числа зубьев тел1и2(на рис. 21 условно не показаны).

Ременная передача представляет собой нерастяжимую нить, охватывающую вращающиеся тела (рис. 22). Скорости всех точек нерастяжимой нити равны по модулю: , или, тогда, где- угловые скорости шкивов1и2соответственно;– радиусы шкивов1и2.

Рис. 22. Ременные передачи

2.4. Пример выполнения расчетно-графической работы по теме «Простейшие движения твердого тела»

Условие:По заданному уравнению x(t) поступательного движения груза 1 определить скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорение точки М механизма в момент времени t₁=1 с.

Исходные данные:

R₂ = 100 см, r₂ = 60 см, r₃ = 75 см, x(t) = 18+70×t² (см).

Найти: скорость и ускорение точки М в момент времени t₁=1 с.

Рис. 23. Расчетная схема

Решение. Рассматриваемый механизм состоит из трех подвижных тел (рис. 23):

груз 1совершает поступательное движение по законуx(t)= 18+70×t²(см);

ступенчатый барабан 2совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точкуО2;

диск 3совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точкуО3.

Определим скорость груза 1, взяв производную по времени от закона движениях(t):

.

В момент времени t₁=1с модуль скорости груза1равен:

.

Поскольку нить нерастяжима, скорости всех точек нити на вертикальном участке имеют одинаковые модули и направления, т.е. (рис. 24).

Модуль линейной скорости точки Аступенчатого барабана определяется по формуле:

,

где – угловая скорость барабана2,r₂ – радиус малой ступени барабана2.

Рис. 24. Направления линейных скоростей точек

Отсюда угловая скорость степнчатого барабана:

(рад/с).

Зная угловую скорость ₂барабана2, найдем линейную скорость точкиВ:

(см/с).

Точки ВиМлежат на ободе диска3, поэтому скорости точекВиМравны по модулю:, отсюда угловая скорость диска3равна:

(рад/с).

Направления угловых скоростей тел 2и3и линейных скоростей всех обозначенных на схеме точек показаны на рис. 24.

Ускорение груза 1определяется как первая производная по времени от скорости, или как вторая производная от заданного уравнения движения:

(см/с²) =1,4 (м/с²).

Из условия нерастяжимости нити по модулю равны ускорение груза 1и касательное ускорение точкиА:.

Т.к. точка Аодновременно принадлежит барабану2, ее касательное ускорение находится по формуле:, где- угловое ускорение барабана2. Отсюда:

(рад/с²).

Рис. 25. Направления линейных ускорений точек

Касательное ускорение точки Вравно:

(см/с²)=2,3 (м/с²).

, отсюда (рад/с).

Определим модуль нормального ускорения точки М:

(см/с²)= 7,21 (м/с²).

Модуль полного ускорения точки Мнайдем по формуле:

.

(м/с²).

Направления угловых ускорений тел 2и3и ускорений всех обозначенных на схеме точек показаны на рис. 25.

Ответ:v_М= 2,33 м/с, м/с².