2.2.6. Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-либо точку М тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (рис. 17). Дуговая координата на окружности, описываемой точкой М, равна , где. Так как, то модуль скорости этой точки равен:

.

Линейная (окружная) скорость точки вращающегося тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Скорость точки направлена по касательной к описываемой точкой окружности в сторону угловой скорости ω (рис. 17).

Рис. 17. К определению линейной скорости и линейного ускорения точки	Рис. 18. Поле скоростей точек вращающегося тела

Численная величина скорости точек вращающегося тела пропорциональна их расстояниям до оси вращения. Поле скоростей точек вращающегося тела имеет вид, показанный на рис. 18.

УскорениеточкиМвращающегося твердого тела складывается из нормального ускоренияи касательного ускорения(рис. 17):

Для нахождения модуля ускорения точки М воспользуемся формулами:

, , где ρ =h – радиус окружности, описываемой точкой М.

Т.к. ;, то модуль полного ускорения точки равен:

.

Нормальное ускорениенаправлено от точки к оси вращения по радиусу описываемой окружности, в сторону этой оси;касательное ускорение направлено по касательной к траектории в сторону углового ускорения(рис. 17).

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой окружности определяется углом (рис. 19), который вычисляется по формуле:.

Рис. 19. Отклонение линейного ускорения точки вращающегося тела от радиуса описываемой окружности

Угол , составленный ускорением точки вращающегося тела с отрезком, соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, не зависит от положения точки в теле.

2.2.7. Векторы скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рис. 20. К определению векторов скорости и ускорения точки тела

Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и, проведем из произвольной точкиО оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 20). Тогда и по формуле для вычисления скоростей точек вращающегося тела: или . Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов итоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскостиОМВ) и размерности их одинаковы.

Следовательно, , т.е.вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Данное равенство называют формулой Эйлера.

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, получим:

, или .

Полученное выражение определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела.

Вектор направлен, как и вектор, т.е. по касательной к траектории точкиМ, а . Вектор женаправлен вдольМС, т.е. по нормали к траектории точки М, а , т.к.. Учитывая все эти результаты, а также формулы для вычисления модулей нормального и касательного ускорений, заключаем, чтои.

На рис. 17 показаны вектора ,,в случае ускоренного вращения тела.