3.5.2. Теорема о существовании мгновенного центра ускорений

Пользуясь теоремой об ускорениях точек плоской фигуры, покажем, что в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эту точку обычно обозначают буквой Q и называют мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Заданы ускорение точкиА плоской фигуры (рис. 43), угловая скорость ω и угловое ускорение ε в некоторый момент времени. Пусть фигура вращается ускоренно, зная ω и ε, определим угол . Проведем из точки А луч под углом μ от вектора, сонаправленно с ε. Ускорение любой точки на этом луче будет равно:, где векторбудет сонаправлен с ε и образует с лучом угол μ. На данном луче отложим отрезок, равный. Докажем, что полученная точкаQ будет являться МЦУ.

Рис. 43. К доказательству теоремы существования МЦУ

Ускорение этой точки равно:

,

где численно . Подставляя сюда значениеAQ, находим, что . Кроме того, вектордолжен образовывать с линиейAQ угол μ. Следовательно, , но направлен в противоположную сторону, поэтомуи.

При непоступательном движении плоской фигуры в каждый момент времени в ее плоскости имеется единственная точка, ускорение которой равно нулю.

3.5.3. Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра ускорений

Ускорения точек плоской фигуры при ее непоступательном движении распределяются так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ с угловой скоростью и угловым ускорением(рис. 44).

Рис. 44. Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью МЦУ

Если за полюс принять мгновенный центр ускорений:

, где , то,,.

Ускорение любой точки плоской фигуры равно ускорению этой точки о вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений (точки Q).

Модули ускорений точек плоской фигуры будут равны:

, ,.

Ускорение точки В можно найти по составляющим:

,

где – нормальное ускорение точкиBв ее вращении вокруг МЦУ;

- касательное ускорение точки Bв ее вращении вокруг МЦУ.

a_BQⁿ =²  BQ; a_BQ^=BQ,

где BQ– расстояние от точкиВдо мгновенного центра ускорений.

Вектор направлен от точкиВк мгновенному центру ускоренийQ, векторнаправлен перпендикулярно прямойBQв сторону вращения плоской фигуры, если вращение ускоренное, и в противоположную сторону, если вращение замедленное.

Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений:

Векторы ускорений точек плоской фигуры составляют с отрезками, соединяющими эти точки с МЦУ, один и тот же угол  (рис. 44).

3.5.4. Различные случаи определения положения мгновенного центра ускорений

Известны следующие случаи определения положения МЦУ (см. табл. 11):

Таблица 11

Разные случаи определения положения мцу

№	Исходные данные и пояснения	Иллюстрация
1	Равномерное вращение плоской фигуры (,). , . МЦУ лежит на прямой, вдоль которой направлено ускорение какой-либо точки плоской фигуры.
2	Момент обращения угловой скорости в ноль (,): Т.к. , тои. МЦУ находится на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек.

Продолжение табл. 11

3	Неравномерное вращение (,): В данном случае должны быть известны: ускорение какой-либо точки плоской фигуры , угловая скоростьи угловое ускорениеплоской фигуры.Отложив от вектора луч под угломμ, сонаправленный с ε, и отрезок на этом луче, получим искомое положение МЦУ.
4	Ускорение какой-либо точки плоской фигуры по условию задачи равно нулю, тогда эта точка является МЦУ (качение без скольжения по прямолинейному рельсу колеса, если ). Как видно, положение МЦУ и МЦС не совпадают. Ускорение каждой точки колеса будет направлено к точке С.
5	Известны модули и направления ускорений двух точек плоской фигуры – . Примем точку А за полюс, тогда . Построим при точкеВ параллелограмм ускорений по заданным и, из которого найдем, образующий с прямойАВ угол μ. Определив угол μ графически и направление ε, отложим этот угол от ускорений точек А и В по направлению ε. Пересечение двух проведенных полупрямых из заданных точек даст положение МЦУ.

Пример. Ползун линейки эллипсографа движется со скоростью см/с (рис. 45); длина эллипсографаАВ=20см. Определить скорость и ускорение ползуна В, положение МЦУ линейки эллипсографа в момент, когда она образует с осью Ох угол , а ускорение точкиA равно нулю.

Решение. Определим скорость точки В с помощью МЦС, проведя перпендикуляры к векторам скоростей идо их пересечения. Модули скоростей этих точек связаны соотношением:

, отсюда (см/с)

Рис. 45. Расчетная схема

Угловая скорость звена AB равна:

(рад/с)

Определим ускорение точки В:

(по условию).

Спроецируем векторное равенство на ось n.

, где (см/с²)

(см/с²)

Спроецируем теперь векторное равенство на ось .

, отсюда (см/с²);

Угловое ускорение звена AB равно:

(рад/с²)

Определим положение мгновенного центра ускорений, используя формулу:

Расстояние от точки В до МЦУ равно:

(см).

МЦУ совпадает с точкой А.