5.2. Производные по времени от единичных векторов подвижных осей координат

Рассмотрим вращение подвижной системы отсчета Oxyz вокруг мгновенной оси ОР с угловой скоростью ω_е. Выберем точку А на конце единичного вектора оси Ох (рис. 63).

Рис. 63. Вращение подвижной системы отсчета вокруг мгновенной оси

Радиус-вектор точки А равен . Производная по времени от ортапредставляет собой линейную скорость точкиА, т.е. . Но ортвращается вокруг мгновенной осиОР, следовательно, вращательная скорость его конца определяется как: . Следовательно:

.

Выберем точку В на конце единичного вектора оси Oу, радиус-вектор которой равен .

Аналогично рассмотренному ранее:

; .

Точно также определяем производную от единичного вектора оси Oz, равного . Тогда:

; .

Таким образом, получим выражения для производных от каждого орта по времени:

; ;.

Производные по времени от единичных векторов осей подвижной системы координат равны векторным произведениям угловой скорости данной системы координат при ее вращении вокруг мгновенной оси ОР на соответствующие орты (формулы Пуассона).

5.3. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки

Пусть точка М движется одновременно относительно неподвижной системы координат О₁х₁y₁z₁ и подвижной системы координат Охyz. Положение исследуемой точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 64), который находится по формуле:

,

где – радиус-вектор начала отсчета подвижной системы координат относительно неподвижной;– радиус-вектор, определяющий положение точкиМ в подвижной системе координат.

Рис. 64. К доказательству теоремы о сложении скоростей

Радиус-вектор можно разложить на составляющие:

Продифференцировав формулу, определяющую абсолютное положение точки М по времени, получим:

, или

.

Очевидно, что данное выражение определяет абсолютную скорость точки М. Подставив в него формулы Пуассона, получим:

,

где – скорость точки в относительном движении.

Переносная скорость состоит из скорости полюсаО подвижной системы отсчета и вращательной скорости вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс:

.

Таким образом, абсолютная скорость точки М будет равна:

.

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (рис. 65).

Рис. 65. Определение абсолютной скорости точки

В общем случае модуль абсолютной скорости вычисляется по следующей формуле:

.,

Така как абсолютная скорость определяется диагональю параллелограмма, построенного из переносной скоростии относительной скорости.

5.4. Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении

Рассмотрим сложное движение точки М, когда подвижная система отсчета Оxyz движется поступательно (рис. 64). При этом орты ,,являются постоянными величинами по модулю и по направлению.

Определим абсолютное ускорение точки М:

.

Т.к. относительная скорость равна:

,

а производные по времени от единичных векторов подвижной системы координат равны:

(по условию),

то относительное ускорение точки М будет равно:

.

Определим переносное ускорение точки М:

, , т.к. подвижная система отсчета движется поступательно.

Отсюда, абсолютное ускорение точки М равно: .

При поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.