Основы высшей математики для инженеров 2009

452 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Рис. 9.19. Графики изменения во времени гидравлического напора перед затвором: 1 — при P0 15.; 2 — при P0 3; 3 — при P0 8

информацию о величинах гидравлического удара, и эта величина отно сится к первой фазе удара при P 2, поскольку максимумы напора воз никают при P 2 при любом времени срабатывания затвора P0.

В этой связи необходимо отметить, что совершенно противопо ложный вывод сделан в книгеM62А. М. Емцева: «…напор перед затвором во время закрытия возрастает от фазы к фазе, стремясь к некоторому пределу \m» [10, с. 207]. Данный вывод сделан на основе попытки приспособить общее решение Даламбера волновых уравнений к опи санию процесса развития гидравлического удара без постановки и вы полнения краевых условий удара, а при их замене условиями свобод ного истечения жидкости через уменьшающееся отверстие в процессе его закрытия. Такая постановка задачи относится к случаю, когда за твор действует как удавка, обхватывающая трубу, и при затягивании которой проходное сечение трубы постепенно стягивается к нулю (в точку). В течение этого процесса поток испытывает не встречное пря мое сопротивление, а осесимметричное обжатие. Поэтому, по види мому, возник термин «непрямой удар» применительно к данному слу чаю. На резиновом шланге такое обжатие осуществить можно, а при менительно к трубе А. М. Емцев иллюстрирует игольчатый клапан, который создает ситуацию, аналогичную обжатию. Игла находится в потоке, и в режиме стационарного истечения начало ее перемещения к выходному отверстию ударных эффектов не вызывает, и напор воз растает от фазы к фазе. Удар при этом возникнет, если игла быстро закрывает отверстие в течение первой фазы. Здесь же рассмотрена за дача при более жестких краевых условиях удара (11), (13), соответст вующих срабатыванию задвижки или заслонки с поворотным

устройством, какие, например, используются в шарикоулавливающем механизме системы шариковой очистки трубопроводов АЭС.

В порядке дополнительного пояснения полученных результатов можно отметить, что в целом процесс складывается из «действия», ко торое начинается с момента закрытия затвора и описывается функцией

N1 N(A, P)V 0 A 1, 0 P ,

и «последействия», которое начинается с момента полного закрытия затвора P P0 и описывается функцией

N2 N(A, P P0)V 0 A 1, P0 P .

Действие в процессе закрытия приводит к отражению ударной вол ны от тех частей затвора, которые вошли уже в поток и препятствуют его движению. Как видно из графиков рис. 9.19, «действие» приводит к возрастанию напора в первой фазе до первого максимума N1(P) при P 2. Поэтому, если «последействие» начинается при P0 2, то первый мак симум напора возникает независимо от него при P 2. Следовательно, «хвосты» этих графиков практического значения не имеют, поскольку они затухают из за многихM62демпфирующих факторов, которые в урав нениях (8) не учтены. Незатухающий колебательный процесс здесь ес тественно возникает из за того, что второе уравнение (8) такое же, как реологическое уравнение, соответствующее упругому телу, т. е. закон Гука, продифференцированный по времени. Если, например, во вто ром уравнении (8) учесть объемную релаксационную вязкость и вяз кость упругого последействия, или первое уравнение записать с учетом вязкости, то дифференциальное уравнение (10) примет вид

где * — некоторый коэффициент, физический смысл и величина кото рого зависят от того, какие из отмеченных выше факторов учтены при выводе данного уравнения. Решение этого уравнения при тех же на чальных и граничных условиях получено таким же способом, оно име ет совершенно аналогичный вид и в формулах (17) несколько видоиз меняется только выражение для функции N(A, P):

454 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Данное решение получено при условии * '2, что вполне обеспе чивает затухание колебательного процесса, если такие условия имеют место. В заключение следует отметить, что при * 1 данное решение отличается от решения (17) незначительно.

Аналогичный анализ полученного решения (18) для скорости представляет интерес на входе трубы при A 0. Поэтому отметим, что ряд правой части функции 1(A, P) сходится при всех 0 A 1 и 0 P . Только суммировать его нужно отдельно для каждой полуфазы. При

Далее продолжается переменный процесс втекания и обратного вытекания жидкости на входе трубы.

9.7. Задачи теплопроводности. Уравнения параболического типа

Постановка задач. УравнениеM62и граничные условия. Применение опе рационного метода к решению задач теплопроводности.

9.7.1. Постановка задач. Уравнение и граничные условия

Процессы теплопроводности протекают в пространстве и времени и характеризуются температурой в точках объема заданного тела. Тем пература в общем случае зависит от координат точек и от времени t. Если температура T T(x, t) и зависит только от одной координаты x точек и времени t, то температурное поле называется одномерным.

В основу теории теплопроводности сплошных сред положен закон Фурье, согласно которому тепловой поток q (количество тепла через единицу площади за единицу времени) пропорционален градиенту функции распределения температуры T(x, y, z, t):

где — константа, называемая коэффициентом теплопроводности, а знак минус указывает на то, что тепло распространяется от более на гретых частей тела к менее нагретым.

Если выделить в рассматриваемом объеме тела некоторый малый объем -V , ограниченный поверхностью -S, и составить уравнение те плового баланса, приравняв тепловой поток через поверхность -S за

время -t количеству тепла, необходимому на приращения температу ры T(x, y, z, t) на -T(x, y, z, t) во всех точках выделенного объема -V , то получим дифференциальное уравнение относительно функции тем пературы T(x, y, z, t). Это уравнение называется уравнением теплопро водности. Если коэффициент теплопроводности постоянный, т. е. не зависит от температуры тела в точках, то в прямоугольной системе ко ординат уравнение теплопроводности получится в следующем виде:

где c, + — удельная теплоемкость и плотность материала. Поскольку по времени t в данное уравнение входит только первая

производная, то в соответствии с данной выше классификацией урав нение теплопроводности является уравнением параболического типа.

Если в процессе теплообмена данного тела с другими телами, или с окружающей средой, устанавливается распределение температуры, которое далее не изменяется во времени, то в полученном уравне нии (2) производная по времени равна нулю, и для определения тем пературного поля T(x, y, z) мы получим уравнение

которое называется стационарным уравнением теплопроводности и относится к уравнениям эллиптического типа.

В данном разделе мы ограничимся решением нестационарных од номерных задач для плоского слоя или полого цилиндра, в которых функция температуры зависит от времени t и только от одной коорди наты x по толщине плоского или цилиндрического слоя. В этих случа ях уравнение теплопроводности можно записать в виде

где R — радиус внутренней поверхности цилиндра, а x — координата по толщине стенки цилиндра с началом отсчета на внутренней по верхности.

В частном случае при R из уравнения (4) получается уравне ние для плоского слоя:

456 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Для постановки краевых задач, связанных с определением темпе ратурного поля в плоском или цилиндрическом слое при заданных ус ловиях теплообмена, необходимо задать одно начальное условие и два граничных условия на внутренней и внешней поверхностях слоя.

Начальное условие соответствует заданному распределению темпе ратуры по толщине слоя в начальный момент времени t 0:

Граничные условия соответствуют заданным условиям теплообме на на поверхностях данного слоя. При записи граничных условий для некоторых типичных случаев в теплофизике используется следующая терминология.

Граничные условия первого рода — когда на поверхности x 0 (или x L) задана температура

где q0, qL — внешние тепловые потоки, направленные по внутренней нормали к поверхности слоя (падающие тепловые потоки на поверх ность слоя). Направление первого из них совпадает с направлением координатной оси х, а направление второго противоположно направ лению оси х. Поэтому знаки в этих двух условиях разные.

В связи с этим следует отметить, что граничные условия (8) полу чаются как условия теплового баланса элементарного слоя толщины -x, прилегающего к рассматриваемой поверхности x 0 или x L при

-x 0.

Граничные условия третьего рода — когда на поверхности x 0 (или x L) заданы условия конвективного теплообмена с потоком газа или жидкости. При этом, по аналогии с законом Фурье, тепловой по ток от газа (жидкости) на поверхность слоя считается пропорциональ ным разности температур газа (жидкости) и поверхности слоя. Коэф фициент пропорциональности называется коэффициентом теплоотда чи. В данном случае понятнее воспринимается разница в знаках при записи условий теплообмена на поверхностях x 0 и x L, если пред ставить себе, что тепловой поток от горячего газа слева передается

через плоский слой к холодному потоку жидкости с правой стороны стенки (плоского слоя):

итемпературы внешних сред слева и справа.

9.7.2.Применение операционного метода к решению

задач теплопроводности

Рассмотрим два примера расчета температурных полей, которые возникают в инженерной практике при исследовании термостойкости конструкционных материалов, таких как техническое стекло, ситалл, керамика и др. Опытным путем термостойкость определяется при ис пытаниях образцов в виде прямоугольных или круглых пластин, пред варительно прогретых до температуры Tобр T0, путем их сбрасывания

где E, ] — модуль упругости и коэффициент Пуассона; Tср — средняя температура по толщине пластины; T(x, t) — температуры в точках с координатами х по толщине.

Расчетная формула (10) простая, но для ее использования нужно знать температурные поля, которые очень быстро изменяются во

458 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

времени. Достаточно сказать, что максимальные напряжения возника ют в моменты времени t от 0,04 до 0,08 с.

Таким образом, необходимость расчета температурных напряже ний в данном случае приводит к решению краевой задачи с диффе ренциальным уравнением (5) с начальным условием (6) при f (x) 1

При одинаковых условиях теплообмена на поверхностях пластины температурные поля симметричны относительно срединной плоскости пластины. Поэтому начало отсчета координаты х здесь помещено на срединную плоскость. Первое граничное условие соответствует сим метрии решения относительно плоскости x 0, а второе условие запи сано для правой поверхности x l L2 и соответствует конвективно му теплообмену с водой.

Для исследования возможностей аналитического решения данной

задачи рассмотрим два примера.

П р и м е р 1. Сначала рассмотрим случай, когда теплообмен доста точно эффективный и во втором граничном условии (11) можно пре слагаемым. Тогда граничные условия примут вид

Из аналитических методов решения задач теплопроводности наи более эффективным является операционный метод с применением интегрального преобразования Лапласа, согласно которому функция (оригинал и изображение) связаны соотношениями:

Поэтому умножаем дифференциальное уравнение и граничные ус ловия на экспоненту e pt, проинтегрируем с учетом начального усло вия, и в результате получаем уравнение и граничные условия для функции изображения:

> (x, p) c+4p>(x, p) T05,

1

> (0) 0, >(l) p Tg 0.

Решение для функции температур получается теперь в результате вычисления интеграла, который равен сумме вычетов. Выделяя вычет в нулевой точке, запишем искомый результат в виде

Для вычисления оставшихся вычетов необходимо теперь опреде лить нули косинуса гиперболического, который при чисто мнимых значениях * i преобразуется в косинус тригонометрический, и мы

и преобразовать его, подставив выражения для найденных точек pk :

460 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Легко проверить, что граничные условия выполняются. Выполняет ся также и начальное условие при t 0, поскольку легко убедиться, что

П р и м е р 2. Рассмотрим теперь решение задачи с исходными гра ничными условиями (11) поставленной задачи с произвольным кон вективным теплообменом на поверхностях. Из первого граничного ус ловия здесь также A1 0, а из второго —

Для вычисления оставшихся вычетов необходимо определить кор ни выражения в круглых скобках знаменателя:

* c+p .

Полученное уравнение тоже имеет множество решений вида * i . Для мнимых значений * полученное уравнение можно преобразовать к виду

В уравнении (14) слева тангенс, а справа гипербола. Все ветви тан генса пересекают гиперболу, и мы имеем счетное множество корней k и можем получить выражение для искомого решения в виде ряда. Но полученное решение неудобно для практического использования и яв ляется достаточно убедительным свидетельством того, что актуальность