Основы высшей математики для инженеров 2009

Пусть f (x) cos x. Так как cos x (sin x) , а ряд (1) можно почленно дифференцировать в его области сходимости, то

8.6.2. Биномиальный ряд

Пусть f (x) (1 x)m, где m — любое действительное число.

Таким образом, ряд (2) сходится абсолютно при 1 x 1.

8.6.3. Разложение в ряд Маклорена функции f (x) ln(1 x)

8.6.4. Методы, применяемые для разложения функций в степенные ряды

Метод подстановки. Этот метод использует пять основных разложе ний элементарных функций. При этом не нужно определять область

Метод почленного интегрирования и дифференцирования. Метод дифференцирования уже был нами использован выше при разложении в ряд cos x. Разложим в ряд функцию arctg x.

с точностью 0,001. Формула Ньютона – Лейбница неприменима, так как первообразная не выражается через элементарные функции.

3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому частному решению.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального урав нения второго порядка

с начальными условиями y(x0) y0, y (x0) y0.

Допустим, что его решение y y(x) можно представить в виде ряда Тейлора:

Для определения коэффициентов ряда поступим следующим образом. Значения y(x0) y0 и y (x0) y0 нам известны из начальных условий. Для нахождения y (x0) подставим в правую часть уравнения (2) вме сто y и y их значения при x x0:

Для определения y (x0) дифференцируем обе части равенства (2) по x и подставляем значения y, y и y при x x0. Последовательно по лучаем

Дифференцируя равенство (5) еще раз и подставляя значения x0, y0,

изводных подставляем в ряд (3), который дает решение уравнения.

П р и м е р. Найти приближенноеM6решение2уравнения y y cos x x, удовлетворяющего начальным условиям: y(0) 1, y (0) 0.

Ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена:

y y(0) y (0)x y (0) x2 y (0) x3 . 2! 3!

Принимая во внимание, что y 1 при x 0, из данного дифференци ального уравнения находим y (0) 1cos0 0 1. Для нахождения y

дифференцируем обе части данного уравнения:

y y cos x y sin x 1.

При x 0 получим

y (0) y (0) cos0 y(0) sin0 1 0 1 1 0 1 1.

Подставляя найденные значения производных в ряд, для решения по лучим приближенное выражение в виде частичной суммы ряда

y(x) = 1 x2 x3 . 2! 3!

8.7. Ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье с периодом 2'

Постановка задачи. Некоторые вспомогательные утверждения. Определе ние коэффициентов ряда Фурье. Условия сходимости. Теорема Дирихле.

8.7.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные утверждения

В общем случае тригонометрический ряд имеет вид

a0 a1 cos x b1 sin x a2 cos2 x b2 sin2 x

2

Если коэффициенты тригонометрического ряда определить так,

чтобы его сумма равнялась функции f (x) на отрезке ? ', '@: aM620

f (x) F(an cosnx bn sin nx), (2)

n 1

то тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции f (x). В инженерной практике необходимость представления функции, заданной на отрезке ? ', '@, в виде ряда Фурье возникает во многих случаях. Например, если она задана таблично, или она имеет точки разрыва первого рода и определена несколькими аналитическими выражениями на отдельных участках данного отрезка. В этих и мно гих других случаях при разложении функции в ряд Фурье значитель но упрощаются все процедуры, связанные с использованием таких

функций.

При этом если функция задана на некотором отрезке ?a, b@, то пу тем замены независимой переменной можно перейти к отрезку ? ', '@ или ?0, '@. Таким образом, разложить в ряд Фурье можно любую функцию, заданную и кусочно непрерывную на любом отрез ке ?a, b@. При этом лишь следует иметь в виду, что непериодическая функция, заданная на отрезке ?a, b@, при разложении в ряд Фурье будет продолжена за пределы этого участка как периодическая. А в практических приложениях это свойство, навязанное данной функ ции, не имеет существенного значения.

8.7.2. Определение коэффициентов ряда Фурье

Предположим, что ряд (2) можно почленно интегрировать (это бу дет, например, выполнено, если ряд абсолютно сходится, т. е. если сходится числовой ряд

''

D f (x) sin kx bk Dsin2 kxdx bk ',

Коэффициенты (5), (6), (7) — коэффициенты ряда Фурье функции f (x).

8.7.3. Условия сходимости. Теорема Дирихле

Пусть для 2' — периодической функции f (x) по формулам (5)–(7) вычислены коэффициенты и формально построен ряд Фурье. Рассмот рим, в каком случае он будет иметь своей суммой f (x).