Основы высшей математики для инженеров 2009

П р и м е р. Найдем div(rot F ).

Пользуясь оператором Гамильтона, получим

div(rot F ) ( F ) ( ) F 0.

Таким образом, поле вихрей всегда соленоидально (свободно от ис# точников).

6.4.3. Уравнение Лапласа

Пусть задано потенциальное поле F . Как было показано выше, та# кое поле всегда является полем градиента некоторой функции

F gradU U i U j U k .

x y z

Потребуем, чтобы это поле было также и соленоидальным. Тогда

называется оператором Лапласа. Используя этот оператор, уравне# ние (1) можем переписать в виде

Уравнение (2) — уравнение Лапласа. Функция U, являющаяся ре# шением уравнения Лапласа, называется гармонической функцией.

ГЛАВА 7

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференци альные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее решение. Особые решения.

Теория дифференциальных уравнений является частью математи ческого анализа. Она дает мощный аппарат для исследования много образных процессов, протекающих в природе и в технике. Дифферен циальные уравнения моделируют процессы в различных объектах и устройствах, поведение которых определяется такими характеристика ми переменных состояния,M62как скорость, ускорение, температура, дав ление, напряжение, радиация и т. д. Поэтому с решением дифферен циальных уравнений неизбежно связаны практически все исследова ния по проектированию и разработке новой техники, технологических процессов, стратегических военных операций, экономических проек тов, химических процессов и многие другие.

7.1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

При решении многих задач механики, физики, техники зачастую сразу не удается установить связь между искомой и заданной перемен ными величинами. Однако бывает возможно установить зависимость между заданной переменной, искомой функцией и ее производными. При этом приходим к дифференциальным уравнениям.

П р и м е р. Тело брошено на Землю вертикально вниз с начальной скоростью v0. Определить скорость тела в момент времени t t1, если сопротивление движению пропорционально скорости (коэффициент пропорциональности k).

По закону Ньютона F ma; v v(t) — скорость, a dv — ускоре dt

ние. В силу F входит сила притяжения Земли и сила сопротивления воздуха.

Это дифференциальное уравнение 1 го порядка, т. к. в него входит первая производная.

Решение данного уравнения позволяет установить, что через неко торое время переменная скорость падения стабилизируется и стано вится почти постоянной, равной (mgk)1n. Совершенно очевидно, что подобная задача возникает при проектировании парашютов, но не только парашютов. Аналогичное уравнение может описывать и про цесс погружения в воду, и другие жидкости.

П р и м е р. Шарик с отверстием нани зан на стержне и соединен с двумя пружи нами. При малых отклонениях и от положе ния равновесия закон движения груза опи сывается уравнением

и )2и.

Вновь пришли к дифференциальномуM62уравнению. Это уравнение 2 го порядка, так как оно связывает перемещение и и его вторую произ водную по времени.

Решение уравнения свободных колебаний шарика позволяет опре делить основные характеристики колебательного процесса: частоту и период колебаний. Подобные задачи возникают при разработке мно гих изделий современной техники, поскольку частота собственных (свободных) колебаний упругих элементов многих конструкций вклю чается в технический паспорт конструкции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальным уравнением n го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y , , y(n)) 0,

связывающее переменную x, искомую функцию y и ее производные до порядка n включительно.

7.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x, y, y ) 0. (2)

Оно связывает независимую переменную x, искомую функцию y и ее производную y .

4 Рис. 7.4

Используя достаточно большое количество изоклин, можно получить отчетливое представление об интегральных кривых уравнения.

7.1.3. Задача Коши. Теорема Коши

Уравнение y 2 x можно проинтегрировать непосредственно: y x2 C.

Таким образом, уравнение первого порядка может иметь множество ре

семейства интегральных кривых выделить одну кривую, нужно указать точку M0, через которую эта кривая проходит. Иными словами, нужно задать значение y0, которое принимает решение y y(x) при x x0:

Задача отыскания решения y(x) уравнения (3), удовлетворяющего условию (4), называется задачей Коши. Условие (4) — начальное условие.

Однако решение задачи (3)–(4) может существовать не всегда или может быть не единственным.

Теорема Коши (теорема существования и единственности реше ния). Если правая часть f (x, y) уравнения y f (x, y) и fy(x, y) непрерыв2

ны в некоторой области А переменных x, y, то какова бы ни была внут2 ренняя точка M0(x0, y0) A, существует единственное решение y y(x)

уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) y0.

Как это следует из теоремы Коши, через каждую точку M0(x0, y0) A при выполнении условий этой теоремы проходит единственная инте гральная кривая уравнения. Таким образом, уравнение имеет множест во решений. В рассмотренном выше примере уравнение y 2 x имело решение y x2 C для C. Чтобы из этого множества интегральных кривых выделить одну, проходящую через точку M0(x0, y0), нужно задать конкретное значение C C0 y0 x20 . Здесь y x2 C — общее решение, y x2 y0 x20 — частное решение.

7.2. Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений… 307

7.2. Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения.

7.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравне ние вида

правая часть которого представляет собой произведение двух множи телей, каждый из которых является функцией только одного аргумен та. Например, уравнение

является уравнением с разделяющимисяM62переменными, а уравнение

x dy y tg x dx

таковым не является.

Перепишем уравнение (1) в виде

dy f1(x)dx. (2) f2(y)

Говорят, что в уравнении (2) переменные разделены. Предполо жим, что решение уравнения (2) найдено: y y(x). Подставив его в уравнение, получим тождество. Проинтегрируем обе части этого тож дества по x:

7.2.Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений… 309

Пр и м е р. dy P(x, y), где P(x, y) и Q(x, y) — однородные много dx Q(x, y)

члены переменных x и y одинаковой степени однородности, т. е. такие многочлены, у которых сумма показателей степеней переменных в ка ждом члене одна и та же. Например, уравнение

однородное, так как оба многочлена в правой части равенства имеют степень однородности 3. Действительно, это уравнение может быть приведено к виду (6)

Однородное уравнение легко преобразуется к уравнению с разде ляющимися переменными при помощи замены y z(x) или y xz. Тогда

x((z) z

— общий интеграл уравнения (7). Найдя z z(x, C), получим y x z(x, C).

П р и м е р. Найти частное решение уравнения (x2 3y2)dx2 xydy 0, удовлетворяющее начальным условиям y 1 при x 2.

310 Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Окончательно: y x 1 3 x — искомое решение. 8

П р и м е р. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсе каемый на оси ординат нормалью к любой точке кривой, равен рас стоянию этой точки от начала координат.

Решение. АМ — нормаль к кривой в точке M(x, y). По условию