Основы высшей математики для инженеров 2009

9.1. Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний балки… 401

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Осью бруса называется геометрическое место центров тяжести поперечных сечений. Изогнутая ось бруса при плос ком изгибе находится в плоскости изгиба.

За центр приведения напряжений к силам и парам сил принима ются центры тяжести поперечных сечений бруса. При этом сумма мо ментов, напряжений относительно центра тяжести сечения называется изгибающим моментом, а брус, находящийся в условиях изгиба, обычно называется балкой.

Деформации при изгибе определяются на основе деформационной гипотезы, основные положения которой состоят в следующем:

совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости по перечного сечения бруса, после изгиба перемещается в пространстве, но по прежнему образует плоскость, причем перпендикулярную к изогнутой оси бруса;

поперечные размеры бруса не изменяются при изгибе;

ось балки при переходе в изогнутое состояние не изменяет сво

ей первоначальной длины, что оказывается возможным при свобод ном перемещении опорыM62в продольном направлении.

Рис. 9.2

Все эти положения можно обобщить одной формулировкой: вся кое поперечное сечение бруса, перпендикулярное к его оси до изгиба, остается плоским и после изгиба, и перпендикулярным к изогнутой оси балки, поворачиваясь как жесткое целое относительно оси, пер пендикулярной плоскости изгиба и проходящей через центр тяжести поперечного сечения.

402 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Для более полного представления условий плоского изгиба можно ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Ось, относительно которой происходит пово рот поперечного сечения при изгибе, называется нейтральной осью се2 чения. Все нейтральные оси сечений образуют нейтральный слой балки. Уравнение нейтрального слоя (нейтральной плоскости) — Y = 0.

Для определения деформаций на рис. 9.2 показан элемент длины - x, выделенный двумя поперечными сечениями, до изгиба и после изгиба. Прямолинейный отрезок оси a0b0 переходит в дугу A0B0, длина которой остается равной длине отрезка a0b0. Поэтому относительное удлинение отрезка ab, отстоящего от нейтрального слоя балки на рас стояние y, будет равно

где R — радиус кривизны изогнутой оси балки.

Очевидно, что представленная выше гипотеза сводится к тому, что продольные элементы при изгибе бруса находятся в условиях, близких

Теперь можно установить связь между изгибающими моментами и кривизной оси балки. Для этого достаточно записать выражение для момента

M DDNизг ydS ,

S

где S — площадь поперечного сечения.

Подставив в него выражение для напряжения (2), получим

M EI , (3)

R

где I — момент инерции поперечного сечения.

Возвращаясь к соотношению (2), устанавливаем непосредствен ную связь между напряжениями и моментами, которые возникают при изгибе

9.1. Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний балки… 403

Здесь следует отметить, что возникают еще напряжения N от осе вой силы Р, которые равномерно распределены по точкам поперечно го сечения и создают только внутреннюю силу N NS. В данном слу чае справедлив принцип суперпозиции, и изгибные напряжения и осевые напряжения чистого растяжения (сжатия) определяются неза висимо друг от друга, поскольку возникают от разного вида нагрузок.

Вертикальные перемещения точек оси на рис. 9.2 обозначены как V(x). Таким образом, уравнение изогнутой оси можно записать в виде

В соответствии с рассмотренным выше определением кривизны плоской кривой радиус кривизны определяется соотношением

где V (x) V (x), поскольку ось у направлена вниз, и при положи тельных изгибающих моментахM62изогнутая ось будет выпуклой, и, сле довательно, вторая производная функции прогиба отрицательная.

При изгибе балок абсолютная величина первой производной функции прогиба V (x) гораздо меньше единицы, поэтому без замет ных погрешностей для определения радиуса кривизны изогнутой оси

балки можно принять

1 V (x).

R

Подставив выражение для радиуса кривизны в уравнение (4) полу чаем уравнение связи между моментами в поперечных сечениях балки и функцией поперечных перемещений, которая обычно называется функцией прогиба балки:

9.1.2. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки

Представленные выше положения изгиба балок являются осново полагающими в теории сопротивления материалов. Используя симво лику, принятую в сопромате, обозначим через Yk, Xk проекции сил на оси координат. Обозначим также буквой ( угол между осью х и каса тельной к изогнутой оси балки. При записи выражений для проекций

404 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

внутренних и массовых сил на оси координат используется допуще ние, что углы наклона касательной малы, и можно положить

sin ( tg(, cos( 1.

При выводе уравнений движения выделенного элемента балки, показанного на рис. 9.1, внутренние и внешние силы дополняются си лами инерции, которые направлены вверх, т. е. в сторону, противопо ложную направлению перемещений V(x, t) точек изогнутой оси балки. Интенсивность инерционных сил равна произведению массы элемен та балки единичной длины на ускорение:

H2V Fи +S Ht2 ,

где + — плотность материала, S — площадь поперечного сечения балки. Запишем теперь уравнения движения выделенного элемента бал ки. По принципу Даламбера эти уравнения записываются как уравне

ния равновесия с учетом инерционных сил:

FXk M620: ?N(x -x) N(2x)@ 0,

H V

FYk 0: ?Q(x -x) Q(x)@ +S Ht2 -x

FMC 2(Fk) 0: ?M(x -x) M(x)@ Q(x)-x 0,

где уравнение моментов записано относительно центра тяжести пра вого сечения, а моменты от инерционных сил и распределенной на грузки отброшены как бесконечно малые более высокого порядка.

В скобках второго уравнения стоят проекции осевых сил на ось Y. Внутренняя сила N(x) перпендикулярна левому торцу выделенного элемента, а N(x -x) — правому.

Для пояснения записи их проекций рассмотрим это отдельно:

9.1. Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний балки… 405

Если теперь эти уравнения поделить почленно на -x, принимая слагаемые в скобках за один член, то при -x 0 получим дифферен циальные уравнения:

HN 0, Hx

HQ N H2V +S H2V q(x, t) 0, Hx Hx2 Ht2

HM

Hx

Как видим, из первого уравнения следует, что N(x) const N, и это было учтено при записи второго уравнения. С учетом уравне ния (6) третье уравнение равновесия дает дифференциальную связь между поперечными силами и функцией прогиба

Из второго уравнения M62получаем окончательное выражение диффе ренциального уравнения колебаний балки под действием осевой силы Р и некоторой распределенной поперечной нагрузки q(x, t):

4 2

9.1.3. Граничные и начальные условия

Полученное дифференциальное уравнение колебаний балки со держит вторую производную по времени. Поэтому при t 0 необходи

По переменной х, в уравнении — производная четвертого порядка, поэтому на каждом конце балки в соответствии с условиями ее закре пления необходимо поставить по два граничных условия, которые на зываются кинематическими и статическими.

Кинематические условия соответствуют ограничению перемеще ния соответствующего конца, или ограничению поворота поперечного

406 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Если на конце ограничены перемещения и угол поворота, то такое закрепление называется жесткой заделкой. Если ограничены только перемещения, но не ограничен поворот, то такое закрепление называ ется неподвижным шарниром. Если шарнир ограничивает только вер тикальное (поперечное) перемещение, то он называется подвижным шарниром. Например, на рис. 9.1 слева неподвижный шарнир, а спра ва подвижный. На шарнирной опоре

Если конец свободный, но нагружен силой PB и парой сил с мо ментом mB, то оба условия статические. Получаются они из уравнения

нагружен осевой силой Р, то граничное условие необходимо поставить для осевой внутренней силы N(x), как, например, в случае, показан

А в данном случае при N(x) const: N(x) J P.

9.2. Поперечные колебания струны. Метод Фурье. Частоты и формы колебаний

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны. Началь ные и граничные условия. Решение задачи методом Фурье. Формы и частоты поперечных колебаний. Бесконечная струна. Метод Даламбера. Бегущие волны. Конечная струна. Бегущие волны. Колебания струны под действием заданного начального импульса.

9.2.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны. Начальные и граничные условия

В дифференциальном уравнении (8) колебаний балки, первое сла гаемое отражает изгибную жесткость балки. При наличии изгибной жесткости, балка сопротивляется изгибу и восстанавливает свою пря молинейную форму, если прекратить изгибающее воздействие.

Струна не обладает изгибной жесткостью (рис. 9.3). Поэтому при рассмотрении колебаний струны нужно отбросить первое слагаемое в дифференциальном уравнении (8).

Рис. 9.3

Если кроме осевой силы Р и закрепления концов струны нет дру гих факторов внешнего воздействия, то уравнение поперечных коле баний струны получается из уравнения (8) при отбрасывании нагрузки q(x, t):

Здесь следует обратить внимание, что единственным фактором, который поддерживают поперечные колебания струны, является осе вая сила Р. Модуль упругости струны не оказывает влияния на ее час тоты колебаний. Как мы видим теперь, они зависят только от ее дли ны, погонной массы и силы Р. Это — первый практически важный ре2

9.2.2. Решение задачи методом Фурье. Формы и частоты поперечных колебаний

Рассмотрим струну с закрепленными концами при предваритель ном растяжении силой Р. В начальный момент времени ее спокойно отклонили от прямолинейного состояния, затем так же спокойно от пустили. Следовательно, граничные условиям соответствуют услови

408 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

ям (3), а в начальных условиях функция v0(x) 0, а V 0(x) — некото рая произвольная функция, удовлетворяющая условиям закрепле ния концов.

После того как мы изучили ряды Фурье, сам собой напрашивается путь решения данной задачи в виде ряда Фурье по синусам

Решение в виде (5) удовлетворяет граничным условиям. Подста вим его в уравнение (1) и получим систему (последовательность) обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функ ций wn(t):

Корни характеристических уравнений мнимые и равны /iIn. По этому с учетом начальных условий решение принимает вид

а функции sin n'x здесь являются формами колебаний.

L

Если функция начальных отклонений задана, то ее можно пред ставить в виде ряда Фурье по синусам. Напомним, что система сину

сов sin n'x L

функций, и по этой системе функций можно разложить в ряд Фурье любую функцию. При заданных здесь начальных условиях коэффици енты bn полученного решения будут равны коэффициентам ряда Фурье заданной функции V0(x). Пусть начальные отклонения заданы в виде одной полуволны синусоиды с амплитудой b1 b, соответствую щей первой частоте и первой форме собственных колебаний. Тогда решение примет простой вид:

V(x, t) b1 cosI1t sin 'x .

L

Как видим, в процессе колебаний форма начального отклонения не изменяется, и такие колебания называют «стоячими».

Одно колебание совершается за время t T при I1T 2'. Таким образом,

период колебаний в секундах равен T 2' ;

I1

число колебаний в секунду n 1c I1 Гц.

T 2'

В качестве примеров по этому вопросу можно задать начальные отклонения струны в виде параболы или треугольника, симметричные относительно средины данного отрезка. Для этих функций мы полу чим бесконечные ряды по синусам, но амплитуды гармоник очень бы стро затухают с увеличением номера n, и в результате графики функ ций, описывающих колебания струны, будут практически одинаковы ми во всех трех случаях.

9.2.3. Бесконечная струна. Метод Даламбера. Бегущие волны

Путем непосредственной подстановки можно убедиться в том, что

с начальными условиями

V(x, 0) 2>(x), HV 0, x ? c, c@.

Ht

Чтобы выяснить физический смысл этого решения рассмотрим ка ждое слагаемое в отдельности и обозначим их соответственно V1(x, t) и V2(x, t). При t 0 оба слагаемые одинаковые и равны >(x). Для нагляд ности представим функцию >(x) на отрезке [ c, c] в виде параболы, симметричной относительно вертикальной оси, и построим графики

трех функций V1(x, t), V(x, t), V2(x, t) для двух моментов времени: t 0 и t t1, рис. 9.4.

В начальный момент времени и при t t1 4t1 ca5 форма струны описывается одной полуволной, которая складывается из наложения двух парабол, разбегающихся в разные стороны со скоростью а.

410 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

M62Рис. 9.4

При t t1 эти волны уже не накладываются и уходят по оси х вправо до бесконечности и влево до бесконечности, поскольку данное реше ние получено без ограничения отклонений струны на всей ее длине.

Решение задачи для бесконечной струны в общем случае, когда за даны произвольные начальные условия и по перемещениям, и по ско ростям, получено Даламбером и называется методом Даламбера.

9.2.4.Конечная струна. Бегущие волны

Всвязи с решением предыдущей задачи возникает вопрос, а что произойдет с разбегающимися по струне волнами, если струна конеч ной длины. Рассмотрим эту задачу.

П р и м е р. Пусть начальное отклонение струны задано в форме короткой полуволны в окрестности точки x c: