Основы высшей математики для инженеров 2009

решение которого рассмотрено в предыдущем разделе и получены следующие результаты (здесь l — длина стержня):

При увеличении сжимающей силы Р частоты поперечных колеба ний стержня уменьшаются и при I 0 уравнение (9) принимает вид

EI

Полученное уравнение (12) совпадает с уравнением для определе ния критических сил, которое получается статическим методом.

9.4.2. Исcледование устойчивости стержня под действием следящей силы

Рассмотрим гибкий стержень (стойку), жестко закрепленный в основании, находящийся под действием сжимающей силы Р, которая прикладывается таким способом,M62что при любом возможном откло нении стержня от вертикального положения она всегда будет направ лена по касательной к изогнутой оси стержня (рис. 9.10). Данная сила вошла в историю теории сопротивления материалов как «следя щая сила».

Вошла в историю, потому что первые результа ты по исследованию устойчивости прямолинейной формы равновесия данного стержня под действием

следящей силы были неправильными: «Стержень при такой силе, не вызывающей пластических де формаций, устойчивость не потеряет» [39].

Используя результаты общей схемы исследова ния устойчивости, решение любой задачи можно продолжить с подстановки общего решения

w(z) Ash*z Bch*z C sin)z Dcos)z

в граничные условия. Граничные условия в данном случае имеют простой вид. В основании данной стойки нужно записать условия жесткой заделки:

w(0) 0, w (0) 0.

Рис. 9.10

Из уравнения равновесия элемента, прилегаю щего к концу, нагруженному следящей силой,

432 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

получается, что внутренняя поперечная сила Q(z, t) и изгибающий мо мент M(z, t) равны нулю. Поэтому

w (L) 0, w (L) 0.

Таким образом, в данном случае получаем следующую систему уравнений для определения произвольных постоянных:

w(0) B D 0,

w (0) A* C) 0,

w (l) A*2 sh*L B*2 ch*L C)2 sin)L D)2 cos)L 0,

w (l) A*3ch*L B*3sh*L C)3 cos)L D)3 sin)L 0.

Равенство нулю определителя системы дает частотное уравнение:

Из четвертого столбца вычитаем второй, а из третьего вычитаем первый. В результате получаем определитель, который равен произве дению диагональных определителей второго порядка. Далее, после простых преобразований приходим к следующему уравнению:

)4 *4 2)2*2 cos)l ch*l +)*()2 *2)sin)l sh*l = 0.

Для дальнейших преобразований выпишем соотношения:

Данное уравнение можно решить графически только при подста новке последовательности числовых значений силы Р и определения соответствующих значений параметра частоты >, как корней данного уравнения. Поэтому для выполнения таких вычислений возникает не обходимость ввести безразмерные величины

балки, рассмотренной в примере 1 предыдущего раздела, где было получено

Данное уравнение совпадаетMс62частотным уравнением консольной

(2n 1)'

или K1 35156., K2 221841., … .

В результате решения данной задачи мы получили зависимость частот колебаний балки от величины следящей силы Р. Но эта зави симость определена неявно уравнением (13). Чтобы построить график этой зависимости нужно подставлять в уравнение (13) значения пара метра силы и из решения уравнения найти K. В результате выполне ния такого расчета на рис. 9.11 построен график этой зависимости, на котором приведены графики изменения двух первых частот колеба ний при увеличении безразмерного параметра . Как видим, с увели

обе частоты сливаются, а при дальнейшем увеличении силы становят ся комплексно сопряженными: I1,2 a ib. Следовательно, решение

принимает вид

V(z, t) w(z)e bteiat,

434 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Рис. 9.11

и колебания продолжаются с возрастающей амплитудой по времени. Найденная таким образом сила Р является критической, а решение В. И. Феодосьева, полученное статическим методом Эйлера, оказалось неверным.

9.4.3. Исcледование устойчивостиM62стержня>стойки под действием

вертикальной силы

Рассмотрим гибкий стержень (стойку), жестко закрепленный в ос новании, находящийся под действием сжимающей силы Р, которая прикладывается таким способом, что при любом возможном отклоне нии стержня от вертикального положения она всегда будет направлена вертикально (рис. 9.12). В отличие от следящей силы вертикальная сила входит в граничные условия при z l.

Как показано на рис. 9.12, вертикальная сила Р проектируется на нормаль к изогнутой оси стержня. Поэтому при z l поперечная сила Q(z) не равна нулю, и граничные условия при z l принимают вид:

M(l, t) 0, Q(l, t) P sin (.

При малых отклонениях sin ( tg( HV . Поэтому можно записать,

M(l, t) 0, Q(l, t) P HV .

Hz

В результате система уравнений для определения произвольных постоянных общего решения для функции w(z) принимает следую щий вид:

B D 0,

A* C) 0,

A*2 sh*L B*2 ch*L C)2 sin)L D)2 cos)L 0,

A*3ch*l B*3sh*l C)3 cos)l D)3 sin)l+

P (A*ch*l B*sh*l C) cos)l D) sin)l) 0.

EI

При увеличении силы Р в данном случае все частоты колебаний монотонно убывают и обращаются в ноль. А все силы, при которых это происходит, можно получить из этого же частотного уравнения,

9.5. Критическая скорость вращения вала. Динамический критерий устойчивости. Примеры

Рассмотрим возможность потери устойчивости круглого вала, ко торый вращается с постоянной угловой скоростью I0, а закреплен с помощью торцевых подшипников, которые можно рассматривать как сферические шарниры, не ограничивающие углов поворота торце вых поперечных сечений при изгибе (рис. 9.13).

Рис. 9.13

Показанное на рисунке идеально прямолинейное состояние вала практически не возможно, поскольку под действием силы тяжести и других факторов возможны малые отклонения от прямолинейного состояния, и вал изгибается. При этом в плоскости изгиба возникают центробежные силы. Силы упругости приводят к колебаниям вала

в плоскости изгиба, и, естественно, возникает вопрос, при всех ли

сле превышения которой M62амплитуды колебаний будут неограниченно возрастать.

скоростях вращения вала амплитуды колебаний поперечных сечений

будут ограниченными или же существует критическая скорость, по

Данная задача аналогична задаче устойчивости продольно сжатого шарнирного стержня, но уравнение поперечных колебаний необходи мо дополнить центробежными силами, а осевую силу положить рав ной нулю (P 0).

Радиус вращения всякого малого элемента, показанного крупным планом на рис. 9.13, равен прогибу V(z, t). Поэтому центробежные силы на единицу длины будут равны +S I20V(z, t), и уравнение колеба

где + — плотность материала; S — площадь поперечного сечения. Принимая во внимание аналогию с задачей устойчивости шарнир

ного стержня, представим искомое решение в виде синусоиды с пере

l

которая удовлетворяет граничным условиям шарнирного закрепления концов.

Дифференциальное уравнение (14) при подстановке выраже ния (15) для искомой функции прогиба принимает вид

В данном случае, тоже в зависимости от знака выражения в круг лых скобках корни характеристического уравнения будут либо чисто мнимыми /iI, либо действительными / , где

В результате с учетом начальных условий получаем два возможных решения в двух диапазонах изменения скорости вращения вала:

Первое решение соответствует гармоническим поперечным коле баниям вала в плоскости начальных отклонений от прямолинейного состояния, а второе решение означает неограниченное отклонение вала от прямолинейного состояния при любом (даже бесконечно ма лом) значении параметра начального отклонения X0. Согласно дина мическому критерию второе решение указывает на неустойчивость прямолинейного состояния, и критическая скорость вращения вала получилась равной круговой частоте его свободных поперечных ко лебаний

Здесь следует обратить внимание на то, что частота поперечных колебаний вала с увеличением скорости его вращения уменьшается и обращается в ноль при IZ Iкр.

Таким образом, здесь так же, как и при исследовании устойчиво сти продольно сжатых стержней: если переход от действительных зна чений частоты поперечных колебаний к комплексным происходит при

438 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

I4IZ5 0, то это условие можно использовать для определения крити ческой скорости вращения вала I0.

П р и м е р. Рассмотрим в качестве примера стержень, правая опора которого типа сферического шарнира и ограничивает только переме щения, а левая опора осуществляет условия жесткой заделки и враща ется вместе со стержнем (рис. 9.14).

Рис. 9.14

При начальных условиях отклонения стержня от прямолинейного состояния дифференциальное уравнение (14) описывает поперечные колебания стержня в плоскости начальных отклонений и его решение имеет вид

где I — круговая частотаM62поперечных колебаний, если это действи тельное число.

Если при наличии осевой силы или угловой скорости вращения число I становится комплексным с отрицательной мнимой частью, то амплитуда колебаний будет возрастать по экспоненте. В этом и прояв ляется неустойчивость стержня под действием осевой силы или угло вой скорости вращения I0. И если переход от действительных значе ний I к комплексным происходит через ноль, то условие I 0 являет ся уравнением для определения критической скорости вращения, или критической силы Р, или критической комбинации сжимающей силы и угловой скорости при наличии того и другого одновременно.

Мы повторили здесь основные предпосылки динамического мето да исследования устойчивости стержневых систем, изложенные под робно при анализе устойчивости сжатых стержней, подчеркивая тем самым общность такого подхода при решении разных задач.

Подставляя (18) в (14), получаем обыкновенное дифференциаль ное уравнение изогнутой оси балки для определения функции w(z)

Частные решения уравнения (19) имеют вид w(z) Ae z,

Корни характеристического уравнения определяются очень про сто, и два из них действительные, а два чисто мнимые:

w (L) A)2 sh)L B)2 ch)L C)2 sin)L D)2 cos)L 0.

равный произведению диагональных миноров, и после приведения подобных слагаемых приходим к уравнению

sin)Lch)L cos)Lsh)L 0.

Для графической иллюстрации корней этого уравнения предста