Основы высшей математики для инженеров 2009

Замечание. В данной главе рассмотрены примеры применения дина мического метода исследования устойчивости упругих стержней, когда пе реход от гармонических колебаний к параметрическому резонансу проис ходит при переходе частоты колебаний через ноль и при I 0 имеют место смежные формы квазистатического равновесия. Следовательно, при решении таких задач является приемлемым статический метод Эйлера, который может оказаться непригодным в случае неконсервативных систем. Но область возможного использования статического метода Эйлера не ограничивается строго только консервативными системами.

Общего признака пригодности статического метода исследования устойчивости упругих систем в настоящее время не существует. По этому лишь при решении частных задач можно выяснить достаточные условия его правомерности. В этой связи можно отметить, что мето дом Эйлера успешно решены задачи устойчивости и некоторых не консервативных систем.

9.6. ГидравлическийM62удар в трубах. Метод интегрального

преобразования Лапласа

Операционный метод на основе преобразования Лапласа. Постановка краевых задач гидравлического удара. Решения краевых задач опера ционным методом. Анализ полученных результатов.

В данном разделе представлена постановка краевых задач гидрав лического удара для функций напора и скорости пульсирующего пото ка в прямой цилиндрической трубе конечной длины, в которую посту пает жидкость из некоторой гидроемкости при установившемся режи ме истечения. Удар возникает при быстром закрытии затвора на конце трубы. Представлены точные аналитические решения задач, и на дан ных примерах их решения показаны возможности применения метода интегрального преобразования Лапласа.

9.6.1. Операционный метод на основе преобразования Лапласа

Решения многих задач, возникающих в инженерной практике, по лучаемые классическими методами, не всегда удобны для их практи ческого использования. В связи с этим широкое применение нашли операционные методы в электротехнике, в теплофизике при решении

442 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

нестационарных задач теплопроводности, в химической технологии, в гидродинамике, в теории переноса нейтронов и т. д.

Операционный метод решения задач сводится к следующим этапам: 1) от искомой функции f (t) (оригинала) переходят к функции F(p)

(изображению) комплексного переменного р;

заданное уравнение для f (t) переводят в операторное уравнение для F(p);

3)решают операторное уравнение, что гораздо проще, чем исх

одное;

4)от найденного изображения переходят к оригиналу. Обоснование метода интегрального преобразования относится к

области теории функций комплексного переменного (ТФКП) и функ ционального анализа. Но для его практического использования доста точно знать ТФКП на уровне «иметь представление». В сущности, и представление о ТФКП можно иметь весьма отдаленное. Правила пе рехода в область изображений достаточно простые, а для обратного

преобразования найденного изображения обычно приходится вычис лять только вычеты в полюсах функции изображения.

П р и м е р. Пусть требуется решить дифференциальное уравнение

при y(0) y0.

Обозначим символом >(p) изображение искомой функции y(t). Для сокращения данной записи представим это просто символом:

Теперь нужно преобразовать дифференциальное уравнение (1) в операторное уравнение. Для этого нужно знать следующее правило:

Данное уравнение мы решили только при использовании симво лики операционного метода и таблицы интегральных преобразова ний Лапласа. Но все это можно проделать самостоятельно, что тоже достаточно просто, пользуясь только определениями интегральных преобразований. Для получения операторного уравнения необходи мо знать, что изображение >(p) функции y(t) является следующим

интегралом:

Поэтому для получения операторного уравнения нужно умно жить данное дифференциальное уравнение на экспоненту и проин тегрировать:

D y (t)e ptdt D y(t)e ptdt 0,

После подстановки пределов интегрирования получаем уравнение

которое совпадает с уравнением (3).

Для выполнения обратного преобразования необходимо знать еще одно определение, согласно которому функция оригинал вычисляется как следующий интеграл в комплексной плоскости:

в котором пределы интегрирования условные. В действительности это интеграл по замкнутому контуру, охватывающему всю левую полу плоскость. По теореме Коши о вычетах (ТФКП), этот интеграл равен сумме всех вычетов по всем особым точкам функции >(p) в полуплос кости, расположенной слева от прямой Re p a 0:

n

y(t) Fres(>(pk5 epk t).

k 1

444 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

При использовании операционного метода редко удается найти нужное изображение в таблице. Обратное преобразование приходится делать по вычетам. Поэтому приведем здесь формулу, которую нужно знать для определения вычетов.

Если найденное изображение представляет дробную функцию с простыми нулями знаменателя, то функция2оригинал вычисляется по формуле

где pk — простые корни (полюсы) функции B(p). Вот и вся ТФКП, кото рую необходимо знать при использовании операционного метода.

Полезно еще знать два предельных соотношения:

Изложенного здесь материала вполне достаточно, чтобы присту пить к решению краевых задач операционным методом.

При решении многих M62краевых задач с дифференциальными урав нениями параболического и гиперболического типов решения получа ются в виде тригонометрических рядов, которые, как правило, быстро сходятся. Например, полученные здесь решения рассмотренных задач позволяют исследовать резкие изменения давления, скорости и уско рения жидкости в процессе и после полного закрытия затвора не толь ко около затвора, но и по всей длине трубы и в любой момент време ни в процессе закрытия затвора. Рассмотренные граничные условия соответствуют таким типам затворов, как задвижка, заслонка с пово ротным устройством, кран с поворачивающимся конусом или решет чатая заслонка, которая используется, например, как отражатель ша рикоулавливающего устройства системы шариковой очистки трубо проводов АЭС.

9.6.2. Постановка краевых задач гидравлического удара

Рассмотрим стационарный процесс истечения жидкости из боль шой гидроемкости с постоянным пьезометрическим напором H0 через прямую цилиндрическую трубу конечной длины L с затвором на кон це (рис. 9.15).

При установившемся режиме истечения скорость V0 постоянна по длине трубы. Таковы начальные условия последующего процесса,

Умножаем уравнение и граничные условия на экспоненту и про интегрируем по переменной времени t от 0 до бесконечности. Началь ные условия для (H H0) нулевые, поэтому в дифференциальное урав нение для функции >(x, p) начальные условия уже не войдут:

Таким образом, мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение с граничными условиями на входе в трубу и на выходе около затвора. Общее решение представим в виде гиперболических функций:

448 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Как видим, для определения искомой функции необходимо вы числить интеграл

При p 0 здесь простой полюс, так как в числителе синус гипербо лический, который мы поделили на один множитель р знаменателя. Выделенная дробь особенности при p 0 не имеет. Простые нули зна менателя имеют место при

pL /i (2n 1)' , n 1, 2, 3,….

a2

Суммируя все вычеты в указанных особых точках получаем выра жение данного интеграла в виде тригонометрического ряда:

M8 4615k 12

N(A, P) A 'T kF14 k 15 sin)k Acos)k P, (16) где введены безразмерные переменные

A x L, P at L, )k (2n 1)' , P0 at0 L. 2

Для вычисления еще интеграла с множителем exp( pt0) необходи мо применить теорему запаздывания [19].

Для любого положительного t0 умножение изображение на экспонен2 ту в степени pt0 означает включение оригинала с запаздыванием на t0

e pt0 F(p) f (t t0).

Подставив теперь найденные интегралы в интегральное соотноше ние (14) и применив теорему запаздывания, окончательно находим функцию напора H(x, t):

N(A, P P0) 0 при P P0.

Аналогичным образом получаем решение второй краевой зада чи (12), (13) для скорости V(x, t). Представим его в виде

V(x, t) V041 1(A, P) 1(A, P PZ)5,

Все полученные здесь ряды можно просуммировать не только с помощью компьютера, но и аналитически.

Но это нужно делать на последовательных отрезках времени. В це лом они не нужны, но на отдельных промежутках необходимы для бо лее полного понимания динамики развития процесса. Например, в первой полуфазе удара, т. е. при 0 P 1, путем суммирования ряда

Аналогичным образомM62ряды суммируются и для последующих от резков времени, но на экране монитора можно наблюдать весь про цесс распространения ударных волн и их отражения от границ.

9.6.4. Анализ полученных результатов

Полученные решения дают полную физическую картину развития гидравлического удара в процессе и после полного закрытия затвора:

В первую очередь отметим, что если в первой строке формул (17) для пьезометрического напора -H H(A, P) H0 положить P0 , что означает истечение жидкости из трубы при открытом затворе, то в правой части этой формулы останется только слагаемое, описываю щее пульсацию вытекающей струи в результате потерь механической энергии по длине трубы на трение. Как видим, оно не вносит ка ких либо принципиальных изменений и его, по видимому, можно от бросить, но если длина трубы достаточно велика, то его необходимо сохранить.

Рассмотрим другой предельный случай, т. е. случай мгновенного закрытия затвора, когда в формулах (17) нужно положить P0 0.

450 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Тогда, выделяя главное и отбрасывая пока потери на трение, по

пространяющейся со скоростью звука а, показан на рис. 9.15 над тру бой. Если в первой формуле (17) трение учесть, то при P0 0 она при мет вид

График этой волны имеетM62форму трапеции (рис. 9.17). Как видим, при мгновенном закрытии затвора трение не влияет на величину воз

никающего напора перед затвором в начальный момент времени.

Рис. 9.17. Распространение ударной волны по трубе при мгновенном закрытии затвора, h aV0g

Проведем теперь анализ изменения напора во времени перед за твором при A 1 и получим расчетные формулы для максимальных по времени величин напора при различных скоростях закрытия затвора.

Для этого сечения, согласно (17), имеем