Основы высшей математики для инженеров 2009

Функция Sn(x) u1(x) u2(x) un(x) называется n й частичной суммой функционального ряда (1). Из определения области сходимо

сти следует, что в любой точке этой области существует lim Sn(x) S(x).

n

Функция S(x) называется суммой ряда. Если функциональный ряд сходится и имеет сумму S(x), то rn(x) S(x) Sn(x) называется n м ос

татком функционального ряда. Очевидно, lim rn(x) 0.

n

8.4.2. Мажорируемые функциональные ряды и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд (1) называется мажорируемым на отрезке [a, b], если существует такой знакоположительный ряд

b1 b2 bn ,

который сходится, и

|u (x)| b , |u (x)| b , , |un(x)| bn, .

1 1 M622

Сцелью большего удобства выговаривать назовем мажорируемый ряд правильно сходящимся на отрезке ?a, b@.

Из определения правильной сходимости вытекает, что правильно сходящийся на отрезке [a, b] ряд сходится абсолютно в любой точке этого отрезка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b], если для любого как угодно малого 1 0 найдется такой номер N, что при всех n N будет выполняться неравенство

|S(x) Sn(x)| 1

для любого x из отрезка [a, b].

Приведем без доказательства теоремы о свойствах правильно схо дящихся рядов.

Теорема 1. Всякий функциональный ряд, правильно сходящийся на от2 резке [a, b], сходится равномерно на этом отрезке.

Теорема 2. Если все члены правильно сходящегося на отрезке [a, b] ря2 да есть непрерывные функции, то сумма ряда также непрерывна на [a, b].

Теорема 3. Если все члены правильно сходящегося на [a, b] ряда есть непрерывные функции, а S(x) — сумма этого ряда, то интеграл от S(x)

в пределах от ) до x, принадлежащих отрезку [a, b], равняется сумме та2 ких же интегралов от членов данного ряда, т. е. ряд можно почленно ин2 тегрировать:

Теорема 4. Если ряд

u1(x) u2(x) un(x) ,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные на [a, b], сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд

u1(x) u2(x) un(x) ,

составленный из производных его членов, сходится правильно на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы перво2 начального ряда, т. е. ряд можно почленно дифференцировать:

S(x) uM621(x) u (x) un(x) .

8.4.3.Степенные ряды. Интервал сходимости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется ряд вида

a0 a1(x a) a2(x a)2 an(x a)n .

Пусть существует

lim 33an 133 1 .

n 3 an 3 R

Тогда

lim un 1 | x | .

n un R

По признаку Даламбера ряд (4) сходится абсолютно, если | x | 1,

R

т. е. если | x | R. Если же | x | 1, то ряд, очевидно, расходится. При

R

| x | R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Следовательно, степенной ряд (1) сходится абсолютно при x R. Интервал ( R, R) — интервал сходимости, R — радиус сходимости. Необходимо отметить, что для определения радиуса сходимости

можно пользоваться не только признаком Даламбера, но и призна ком Коши.

Тогда

Пр и м е р. Исследуем сходимость ряда

x x2 xn .

Итак, ряд сходится абсолютно в промежутке (–1, 1). При x 1 полу чим ряд

который расходится (гармонический ряд с p 1 ). При x 1 полу

который сходится.

имеет интервал сходимости ( R, R), а r — произвольное положительное

| a1 | | x | | a1 | r, , | an | | x |n | an | rn, .

Так как степенной ряд сходится абсолютно в любой точке своего ин тервала сходимости, то числовойM62ряд

| a0 | | a1 | r | an | rn

сходится. Но члены ряда (6) не превосходят членов сходящегося ряда. Поэтому по определению ряд (5) сходится абсолютно.

Теорема 6. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в любой точке интервала сходимости ряда.

Доказательство. Пусть x0 ( R, R). r такое, что | x0 | r R. На отрезке [ r, r] ряд является абсолютно сходящимся. Поэтому его сумма есть непрерывная функция в любой точке отрезка [ r, r], т. е.

Так как этот ряд по теореме 5 сходится абсолютно на отрезке [ r, r], то из теорем 3 и 4 можно получить следующие утверждения для степен ного ряда.

1. Ряд (7) можно почленно дифференцировать в любой точке ин тервала сходимости (–R, R):

(a0 a1x a2 x2 an xn ) a1 2a2 x nan xn 1 . (8)

2. Ряд (7) можно почленно интегрировать в интервале сходимости, т. е. для любого x ( R, R)

Легко проверить, что ряды (8) и (9) имеют тот же интервал сходи мости (–R, R).

8.5. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Степенной ряд по степеням (x – a). Ряд Тейлора. Вывод формулы остаточ ного члена. Ряд Маклорена. Разложение функции ex в ряд Маклорена.

Такой ряд называется степенным рядом по степеням (x a). Можно показать, что областью сходимости ряда (1) является интервал (a R, a R), где R — радиус сходимости.

Ряд (1) обладает следующими свойствами:

а) он сходится абсолютно на интервале (a R, a R);

б) его сумма есть непрерывная на (a R, a R) функция;

в) ряд (1) можно почленно дифференцировать и интегрировать и полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости. Интер вал сходимости ряда (1) может быть найден с помощью признака Да ламбера.

П р и м е р. Найдем радиус сходимости ряда

376 Глава 8. Числовые и функциональные ряды

По признаку Даламбера радиус сходимости

По признаку Коши

11

R lim 2n n 2 lim n n 2.

Итак, область сходимости рассматриваемого ряда 0 x 4.

8.5.2. Ряд Тейлора

Пусть непрерывная функция f (x) является суммой степенного ряда

Говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки a по степеням (x a).

Найдем коэффициенты разложения a0, a1, a2 , …, an, . Воспользу емся тем, что ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале сходимости:

Вопрос: будет ли сумма данного ряда совпадать с функцией f (x)? Ока зывается, что это будет иметь место не всегда.

Составим частичную сумму ряда (5):

Sn(x) f (a) f (a) (x a) f (n)(a) (x a)n. 1! n!

Рассмотрим функцию

Rn(x) f (x) Sn(x).

Rn(x) называется остаточным членом ряда Тейлора.

Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция яв2 лялась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и доста2 точно, чтобы остаточный член ряда Тейлора стремился к 0 при n .

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Если f (x) являет ся суммой ряда (5), то Rn(x) — остаток ряда и, следовательно, Rn(x) 0 при n .

Достаточность. Пусть Rn(x) 0 при n . Тогда

lim [f (x) Sn(x)] 0,

n

т. е. f (x) является пределом частичных сумм ряда (5) — является сум мой ряда.

8.5.3. Вывод формулыM62остаточного члена. Ряд Маклорена

Для того, чтобы применять доказанную теорему, нужно знать вид остаточного члена Rn(x). Будем искать остаточный член в виде

Rn(x) (x a)n 1 Q, (n 1)!

где Q — некоторое число, подлежащее определению. Тогда

Итак, F(t) дифференцируема и на концах интервала [a, x] принима ет равные (нулевые) значения. По теореме Ролля c [a, x], что

F (c) 0, т. е.

f (n 1)(c) (x c)n (x c)n Q 0. n! n!

Таким образом, Q f (n 1)(c) и

(n 1)(c) (x a)n 1, (n 1)!

где c заключено между x и a. Выражение остаточного члена по форму ле (7) называется остаточным членом в форме Лагранжа. При a 0

Rn(x) f (n 1)(c) xn 1, (n 1)!

Т. е. область сходимости ряда — вся числовая ось.

8.6. Разложение некоторыхM62функций в степенные ряды.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Разложение в ряд Маклорена функций f(x) = sin x, f(x) = cos x. Биномиаль ный ряд. Разложение в ряд Маклорена функции f(x) = ln (1 + x). Методы, применяемые для разложения функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

то ряд (1) сходится при всех x.