Основы высшей математики для инженеров 2009

282 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Пользуясь соотношениями (4), (5) и (6), поверхностный интеграл второго рода можно записать в виде

DD[P(x, y, z) cos) Q(x, y, z) cos* R(x, y, z) cos L]dS

S

Поэтому можно сказать, что поверхностный интеграл второго рода — интеграл по координатам.

Заметим, что если единичный вектор нормали меняет направление на противоположное, то знак потока тоже изменяется, так как меня ются знаки направляющих косинусов.

П р и м е р. Вычислить поток векторной функции F x2i y2 j z2 k

через поверхность одной четверти полусферы x2 y2 z2 a2 , лежа щую в первом октанте (z 0).

ГЛАВА 6

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

6.1. Скалярное поле

Определение и примеры скалярных полей. Производная по направле нию. Градиент скалярного поля. Взаимное расположение градиента и поверхности уровня.

6.1.1. Определение и примеры скалярных полей

Понятие поля лежит в основе представлений современной матема тики и физики. В физических задачах чаще всего встречаются величи ны двух типов: скаляры и векторы. В соответствии с этим будем рас сматривать два типа полейM62— скалярные и векторные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Часть пространства (или все пространство), ка ждой точке Р которой соответствует определенное значение некоторой скалярной величины U, называется скалярным полем.

Например, неоднородное тело, каждой точке которого соответст вует определенное значение плотности, можно рассматривать как ска лярное поле. Другими примерами скалярных полей являются поле распределения температуры в данном теле, поле распределения элек трического потенциала и т. д. Во всех случаях будем предполагать, что скалярная величина U не зависит от времени, а зависит только от по ложения точки Р в пространстве. Иными словами, величина U рас сматривается как функция точки Р, т. е. U U(P). Эта функция назы вается функцией поля. Если в некоторой системе координат Oxyz точ ка Р имеет координаты x, y и z, то

U U(P) U(x, y, z).

Обратно, всякая функция трех переменных U(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Скалярное поле геометрически изображается с помощью поверх ностей уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество всех точек пространства, в которых функция поля имеет одно и то же зна чение С. Уравнение поверхности уровня имеет вид

U(x, y, z) C const.

Придавая С различные значения, получим семейство поверхностей уровня.

Пусть, например, поле задано функцией U x2 y2 z2 , тогда по верхностями уровня служат сферы x2 y2 z2 C с центром в начале координат.

Если скалярное поле — поле распределения температуры в неко торой части пространства, то поверхностями уровня этого поля явля ются так называемые изотермические поверхности, т. е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматривают пло ские скалярные поля. Плоское скалярное поле определяется как часть плоскости, каждой точке Р которой соответствует определенное значе ние скалярной величины z. Функция плоского скалярного поля зави

сит от двух переменных: z z(x, y).

Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью уровня — множества точек плоскости, в которых

что асимптоты гипербол x y 0 и x y 0 также относится к числу линий уровня рас сматриваемого поля.

Рис. 6.1

6.1.2. Производная по направлению

Пусть U u (x, y, z) — дифференцируемая функция скалярного поля, P(x, y, z) — точка, l — луч, выходящий из Р в направлении еди ничного вектора

n cos) i cos* j cos L k.

Пусть P1(x -x, y -y, z -z) — другая точка этого луча. Приращение функции U в направлении l

-lU U(x -x, y -y, z -z) U (x, y, z).

Пусть -l PP1.

Производной функции U U(x, y, z) по направлению l называется предел отношения -lU к -l при условии, что -l стремится к 0:

HU lim -lU .

Hl -l 0 -l

Если HU 0, то в этом направлении функция U(x, y, z) возрастает,

Hl

если HU 0, то U(x, y, z) убывает. Таким образом, HU — скорость изме

Из формулы (1) следует, что если вектор n совпадает с i , j или k , то производная по направлению n совпадает с соответствующей част ной производной этой функции:

n i cos) 1, cos* cos L 0 HU U (x, y, z).

Hl

x

П р и м е р. Найти производную функции U x2 2 xz y2 в точке P1(1, 2, 1) по направлению от P1 к P2(2, 4, 3).

Если поле плоское, то

HU Ux(x, y) cos) U y(x, y) cos* Ux cos) U y sin ).

Hl

6.1.3. Градиент скалярного поля

Градиентом в точке P(x, y, z) скалярного поля, заданного диффе ренцируемой функцией U(x, y, z) называется вектор

gradU Uxi U y j U zk

или

gradU HU i HU j HU k.

Hx Hy Hz

П р и м е р. Найти градиент функции U x2 2 y2 z2 5 в точке P0(2, 1,1).

Доказательство. Пусть U U(x, y, z). Имеем

Прn gradU (n, gradU),

но

Таким образом, если направления n и gradU совпадают (( 0), то

производная по направлению HU имеет наибольшее значение, равное

Hl

модулю градиента | gradU |.

gradU — вектор, указывающий направление наибольшего возраста2 ния поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого воз2 растания. Это свойство градиента используется в ряде численных мето2 дов решения задач оптимизации.

6.1.4. Градиент функции перпендикулярен к поверхности уровня

Выясним взаимное расположение градиента функции U в точке

Далее,

r (t0) x (t0)i y (t0)j z (t0) k

(вектор, направленный по касательной к кривой L), поэтому

(gradU(P0), r (t0)) 0, следовательно, gradU(P0) r (t0).

Таким образом, все касательные, проведенные в точке P0 к лини ям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку P0, расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору gradU(P0) (при условии, что gradU(P0) 0).

6.2. Векторное поле

Определение векторного поля. Векторные линии. Формула Остроград ского – Гаусса. Дивергенция векторного поля и ее физический смысл.

6.2.1. Определение векторного поля

Векторным полем называется область пространства или плоско сти, каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор

F F(M) P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z) k.

Векторное поле на плоскости задается векторной функцией двух пере менных

F P(x, y)i Q(x, y)j.

П р и м е р. Пусть в начале координат помещена масса m. Она созда ет поле сил тяготения, т. к. в каждой точке пространства на помещен

6.2.2. Векторные линии

Векторными линиями называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора F в данной точке. Векторные линии находятся из системы уравнений

Так, для векторного поля скоростей движущейся жидкости вектор ными линиями являются траектории, по которым движутся частицы жидкости и называется линиями тока. Для электростатического поля векторные линии — силовые линии.

П р и м е р. Найти векторные линии поля

F Iyi Ix j,

где I const.

x2 y2 C

22

векторные линии — окружности с уравнениями x2 y2 2C.

6.2.3. Формула Остроградского – Гаусса

Пусть

F P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z) k,

S — поверхность, в каждой точке которой определен единичный век

тор нормали n cos) i cos* j cos L k , направляющие косинусы

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вме2 сте со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области, имеющей объем V, то имеет место формула

где S — граница области, причем поток берется по внешней стороне этой поверхности.

Формула (1) — формула Остроградского – Гаусса.

6.2.4. Дивергенция векторного поля и ее физический смысл

Пусть

((x, y, z) HP HQ HR . Hx Hy Hz

Данная функция называется дивергенцией векторного поля F и обозначается символом divF . Для выяснения физического смысла ди вергенции векторного поля проделаем следующие выкладки.

Выделим в векторном поле F некоторый объем V, ограниченный гладкой поверхностью S. Запишем теперь выражение для потока век тора F через всю замкнутую поверхность S и по формуле Остроград ского — Гаусса от поверхностного интеграла перейдем к интегралу по объему V:

DD(F, n)dS DDD((x, y, z)dV.

SV

По теореме о среднем значении для тройного интеграла

DDD((x, y, z)dV ((M0)V,

V

где M0(x0, y0, z0) V . Поэтому поток E вектора F сквозь поверхность S

E DD(F, n)dS ((M0)V

S

и

M6DD(F, 2n)dS

(( 0) S .

V

Пусть объем V стягивается в точку, тогда M0 M и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дивергенцией векторного поля F в точке M(x, y, z) называется предел отношения потока E вектора F через по верхность, окружающую точку М, к объему V, ограниченному этой по верхностью, при условии, что объем стягивается в точку: