Основы высшей математики для инженеров 2009

Каждой точке P(xo, yo) из области D соответствует точка P (uo, vo) из области D . Рассмотрим в области D линии u const, v const. В области D этим линиям будут соответствовать, вообще говоря, неко торые кривые. Будем считать, что D разбита на прямоугольники ли ниями u const и v const. (При этом прямоугольники, прилегающие к границе области, мы не рассматриваем.) Тогда область D разобьется на некоторые криволинейные четырехугольники. Рассмотрим в плос

также через S и S . M62

кости D прямоугольную площадку -S , ограниченную прямыми

u const, u -u const, v const, v -v const, и соответствующую ей нелинейную площадку -S в D. Площади этих площадок обозначим

- - Очевидно, что

-S -u -v.

Пусть в области D задана непрерывная функция z f (x, y). Тогда в D также задана непрерывная функция

z F(u, v) f [((u, v), >(u, v)].

Если мы рассматриваем интегральные суммы для f (x, y) в D, то, оче видно,

nn

Если бы удалось выразить -S через -S , то мы выразили бы инте гральную сумму для f через интегральную сумму для F.

Для этого вычислим -S, т. е. площадь криволинейного четырех угольника в области D. Координаты его вершин:

252 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

При вычислении площади -S будем считать линии P1P2 , P2 P3, P3P4 и P4P1 попарно параллельными, а приращение функции будем заменять ее дифференциалом, т. е. пренебрегать бесконечно малыми более вы сокого порядка, чем -u и -v. Тогда формулы (3) примут вид

При сделанных допущениях криволинейный четырехугольник будет параллелограммом, площадь которого равна модулю векторного про

называется якобианом функций ((u, v), >(u, v). Итак, -S = | J| -S . При -S 0 это равенство становится точным. С учетом последнего соот ношения равенство (2) приобретает вид

nn

F f (xi, yi)-Si = FF(ui, vi)| J | -Si.

i 1 i 1

254 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

5.5. Приложения двойного интеграла

Масса плоской фигуры. Статические моменты, центр тяжести плоской фигуры. Площадь поверхности.

Мы уже отметили два приложения двойного интеграла. 1. Объем тела

V DD f (x, y)dxdy.

(N)

5.5.1. Масса плоской фигуры

Пусть в плоскости XOY задана материальная площадка N с поверх ностной плотностью L(x, y). Под плотностью L(x, y) здесь понимается предел, к которому стремится отношение массы -m элемента площад ки, окружающей точку (x, y) к площади этого элемента площадки, ко

гда diam -N 0:

L(x, y) lim -m .

diam -N 0 -N

Разобьем площадку N на n частей -N1, -N2 , …, -Nn; в каждой из площадок -Ni выберем точку Pi(xi, yi) и будем считать плотность на

nn

258 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Это выражение есть интегральная сумма для функции 1 fx 2 fy2 ,

которая интегрируема, так как fx и fy по предположению непрерыв ны. Следовательно,

S DD1 fx 2(x, y) fy2(x, y) dN.

N

П р и м е р. Определить площадь поверхности той части параболоида вращения z x2 y2 , которая вырезается цилиндром x2 y2 4. Здесь f (x, y) x2 y2 , N — окружность с центром в точке (0, 0) радиуса 2:

5.6. Тройной интеграл

Определение тройного интеграла. Теорема существования. Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых ко ординатах. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических коорди натах. Тройной интеграл в сферических координатах.

5.6.1. Определение тройного интеграла. Теорема существования

Пусть в пространстве задана область V, объем которой равен V. Пусть в каждой точке этой области определена функция u f (P)

f (x, y, z). Выполним следующие действия.

1.Разобьем область V на n частей -V1, -V2 , …, -Vn таких, что

n

F-Vi V.

i1

2.В каждом малом элементе -Vi выберем точку Pi(xi, yi, zi).