Основы высшей математики для инженеров 2009

4. Пусть f (x) нечетная функция, тогда

a

Df (x)dx 0.

a

Доказательство аналогично предыдущему.

Пусть нужно разложить в ряд Фурье четную функцию. Имеем

392 Глава 8. Числовые и функциональные ряды

8.8.2. РазложениеM62функции в ряд Фурье на отрезке ? l, l@

Если требуется разложить в ряд Фурье функцию, заданную на от резке ? l, l@, то полная система ортогональных тригонометрических функций на таком отрезке имеет вид

1, cos k'x , sin k'x , k 1, 2, 3, …,

ll

исовершенно аналогичным образом записывается ряд Фурье для дан ной функции f (x) с использованием этой системы функций:

Обратите внимание, что представить в виде ряда Фурье можно лю бую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле, но не обязатель но периодическую. Непериодическая функция становится периодиче ской после ее разложения в ряд Фурье. Как правило, необходимость представить заданную функцию в виде ряда Фурье возникает не для того, чтобы наделить ее свойствами периодичности за пределами дан ного отрезка ? l, l@, а по многим другим соображениям. И для этих дру гих целей подбирают другую полную систему ортогональных функций.

8.8.3. Ряд ФурьеM62для непериодической функции

Пусть f (x) задана на всей оси и непериодична. Пусть стоит задача построить ряд Фурье, который имел бы f (x) своей суммой на (–l, l]. Если на (–l, l] f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, то продолжая ее периодически с периодом 2l на всю ось, получим периодическую функцию f1(x).

Рис. 8.4 Рис. 8.5

Для f1(x) построим ряд Фурье, который будет сводиться к f (x) на ( l, l], т. е. во всех точках непрерывности на ( l, l]ряд Фурье будет иметь своей суммой f (x).

Если f (x) задана на [0, l], то сначала продолжим f (x) на ( l, l] и по том периодически на всю числовую прямую. Продолжение на (–l, 0)

Знание теории и практики применения рядов Фурье открывает широкие возможности решения многих инженерно технических задач. Покажем это на конкретном примере.

Пусть требуется получить решение дифференциального уравнения

четвертого порядка

d4 y 4)4 y 1 dx4

на отрезке ?0,1@, которое на концах данного отрезка должно удовлетво рять следующим граничным условиям:

y(0) 0, y (0) 0, y(1) 0, y (1) 0.

Как видим, решение получается достаточно просто, и также просто оно будет получено, если правая часть данного уравнения будет задано в виде любой кусочно непрерывной и ограниченной функции на от

Полученный ряд быстро сходится, так как его коэффициенты бы стро затухают, он знакопеременный и поэтому погрешность вычисле ний не превосходит величину первого отброшенного члена.

M62

ГЛАВА 9

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В данной главе мы рассмотрим задачи математического анализа, которые связаны с исследованием физических процессов и решением дифференциальных уравнений с частными производными. Их обычно относят к избранным главам высшей математики и называют уравне ниями математической физики.

Инженеры и студенты технических вузов обычно испытывают зна чительные затруднения в поиске руководства по постановке и реше нию задач в этой обширной и важной отрасли прикладной математи ки. Обусловлено это тем, что авторы этой обширной и богатой литера туры — математики, которые при решении задач опираются на слишком большой объемM62математических знаний, а математические преобразования излагают настолько сжато и с привлечением стольких фактов по умолчанию, что исследования в этой области от постановки задач до заключительных выводов становятся недоступными для сту дентов технических вузов и инженеров.

Для подтверждения сказанного можно, например, отметить, что большинство учебных пособий по уравнениям математической физи ки начинаются с классификации дифференциальных уравнений. За писывается дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде с частными производными искомой функции первого и второго порядков. Затем, путем преобразования независимых переменных, до2 пускающего обратное преобразование, получают уравнение, эквивалент2 ное исходному уравнению, но которое содержит только производные второго порядка с коэффициентами aij :

Далее уравнения классифицируют по трем типам:

если коэффициенты aii одного знака, то это уравнение эллип тическое;

если коэффициенты aii разных знаков, то это уравнение гипер болического типа;

Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов 399

3) но если один из коэффициентов aii равен нулю, а по этой неза висимой переменной в уравнении осталась первая производная, то это уравнение параболического типа.

Выпишем эти уравнения всех трех типов и пронумеруем их соот ветственно:

Некоторая полоса отчуждения у читателя может возникнуть уже на данном этапе изучения этой теории. Действительно, уравнение про

дольных колебаний бруса и уравнение поперечных колебаний струны можно преобразовать к видуM62

H V k2 H V 0, Hx2 Ht2

где V(x, t) — функция продольных перемещений поперечных сечений бруса или функция поперечных перемещений точек изогнутой оси струны; x — координаты поперечных сечений, а t — время. По данной классификации это — уравнение гиперболического типа. А куда же отнести уравнение поперечных колебаний балки, которое имеет вид

H4V *4 H2V 0, Hx4 Ht2

где V(x, t) — функция поперечных перемещений точек изогнутой оси балки.

По физическому смыслу это совершенно одинаковые задачи, да и методы решения тоже одинаковые, а по данной классификации по следнее уравнение вообще выпадает из рассмотрения.

Поэтому, не углубляясь в математическую сторону дела, мы рас смотрим в данной главе вопросы постановки и решения задач теории изгиба балок, а также теплообмена и расчета температурных полей и напряжений в элементах конструкций, которые повседневно возника ют в инженерной практике.

400Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

9.1.Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний балки.

Граничные и начальные условия

Основные предпосылки теории изгиба балок. Дифференциальное урав нение поперечных колебаний балки. Граничные и начальные условия.

9.1.1. Основные предпосылки теории изгиба балок

На рис. 9.1 показан брус, шарнирно закрепленный на концах, под действием осевой силы Р и поперечной нагрузки, распределенной по всей длине или по отдельной ее части с заданной интенсивностью q(x, t), где х координата — по оси бруса с началом отсчета на левом конце. Распределенная по длине нагрузка q(x, t) называется погонной нагрузкой. В общем случае она зависит и от времени t.

M62

Рис. 9.1

На рис. 9.1 показана изогнутая ось бруса после приложения на грузки, а также внутренние силы N(x),Q(x) и изгибающие моменты M(x), которые возникают в поперечных сечениях при плоском изги бе балки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Брусом называется прямолинейный элемент конструкции, размеры поперечных сечений которого (например, вы сота поперечных сечений h) малы по сравнению с его длиной L, h/L<1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Плоским изгибом называется такой вид на пряженно деформированного состояния бруса, в условиях которого напряжения во всех его поперечных сечениях статически эквивалент ны поперечным силам и парам сил, находящимся в одной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью изгиба.