Основы высшей математики для инженеров 2009

Представим эту функцию в виде ряда Фурье

где коэффициенты bn определяются как обычно из соотношений

Слева подынтегральная функция отлична от нуля на заданном ко ротком отрезке, поэтому необходимо вычислить следующий интеграл:

(интегралы от синусов будут косинусы, которые после подстановки пределов и использования формул приведения перешли в синусы)

412 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

И, наконец, подходим к завершению вычисления коэффициентов bn:

Правильность результата при этих сложных выкладках подтвер ждается следующим предельным случаем.

При c L2 и 2 L2 все коэффициенты, за исключением первого,

равны нулю. При n 1 получается неопределенность типа 0. Для рас 0

крытия этой неопределенности в выражении для b1 представим 2 как 4L2 15 и перейдем к пределу при 1 0. В результате получим b1 H , а заданная короткая полуволна (8) переходит в полуволну синусоиды на всем отрезке [0, L].

Подставим теперь найденные коэффициенты ряда Фурье (9) в по

Для более компактной записи этого ряда здесь введено обозначе ние нечетных чисел: m 2n 1, n 1, 2, 3,….

Если теперь внимательно посмотреть на полученное решение, то можно заметить, что каждый член этого ряда описывает две полувол ны, разбегающиеся в разные стороны со скоростью а. Действительно, произведение синуса на косинус есть сумма синусов

Суперпозиция бесконечного ряда этих синусов описывает процесс распространения волн по струне конечной длины L и периодического их отражения от границ.

414 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

в противоположных направлениях. В момент времени t2 (L c 2)a(L2 2a) W 0,0022 c обе волны подошли к границам, и с этого момен та начинается процесс их отражения от границ.

Процесс отражения волны от границы можно представить себе как процесс ее сложения (суперпозиции) с такой же волной, которая дви жется ей навстречу с такой же скоростью, но с амплитудой противопо ложного знака. Поэтому при 0,0022 t 0,0039 амплитуды отклонения точек около границы убывают, а в момент времени t3 0,0039 встреч ная волна полностью уничтожила подошедшую волну, рис. 9.5, б и, начиная с этого момента времени, по струне распространяется встреч ная волна с отрицательными амплитудами отклонений.

В момент времени t4 0,0061 отраженные волны встречаются и продолжают свое движение до противоположных границ, снова отра жаются и т. д.

9.2.5. Колебания струны под действием заданного начального импульса

нулю, а колебания струныM62обусловлены ударом острым молоточком в точке x c с импульсом J mv, где m — масса молоточка, v — скорость молоточка при соударении.

Рассмотрим случай, когда начальные отклонения струны равны

В данном случае мы должны задать начальную скорость движения струны, которую приобретают ее точки на бесконечно малом участке длины. Поэтому можно поступить следующим образом.

Выделим 2 окрестность 4c 2, c 25 и будем считать, что все точки участка длины 22 в начальный момент времени приобретают одинако вую скорость v0, которую зададим из условия сохранения импульса:

n 1 L

416 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

В результате получаем решение

Напомним, что здесь +S — погонная масса струны, T — сила натя жения, а — скорость бегущей волны. Поэтому множитель перед всей суммой можно задать как некоторую величину перемещения точки.

П р и м е р. Пусть в условиях рассмотренной задачи начальное рас пределение скоростей задано функцией

Показать, что колебания струны описываются следующим рядом:

9.3. Поперечные колебания балки. Общая схема расчета свободных колебаний балки. Примеры

Постановка задачи и общая схема расчета свободных поперечных коле баний балки. Расчет частот поперечных колебаний консольной балки с упругой опорой на втором конце.

9.3.1. Постановка задачи и общая схема расчета свободных поперечных колебаний балки

Вопросы постановки и решения задач по расчету частот свободных колебаний балки, которые происходят без внешнего воздействия ка ких либо силовых факторов и называются собственными частотами

колебаний, рассмотрим сначала на простейшем примере шарнирной балки, рис. 9.6.

Рис. 9.6

Уравнение поперечных колебаний балки в данном случае при от сутствии внешних нагрузок имеет достаточно простой вид

Для определения частот колебаний можно задать произвольные начальные отклонения от прямолинейного состояния, а начальные

сутствию ограничений на углы поворота поперечных сечений на кон цах. Нет ограничений поворотов, следовательно, и нет напряжений, создающих изгибающие моменты в поперечных сечениях на концах. Запишем эти условия с учетом дифференциальной связи между мо ментами и функцией прогиба V(x, t):

Таким образом, в общем случае задача состоит в построении ре шения дифференциального уравнения (1) с граничными условия ми (3) и начальными условиями (2). Как видим, данная краевая задача состоит в построении ненулевого решения однородного уравнения (1) с однородными граничными условиями (3). Естественно, возникает вопрос, при каких условиях существует ненулевое решение однород ной краевой задачи, и вопрос сводится главным образом не к по

418 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

строению этого решения при заданных начальных условиях, а в пер вую очередь, к нахождению собственных чисел данной краевой зада чи, которыми являются частоты свободных колебаний данной балки с заданными условиями закрепления.

Для шарнирной балки решение можно выполнить по полной про грамме, и определить не только частоты, но и формы колебаний.

Поскольку колебательные процессы описываются гармонически ми функциями по времени, то решение с учетом данных начальных условий (2) следует искать в виде

После подстановки заданного выражения (4) в уравнение (1) полу чаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции w(x). Действительно, данное уравнение

Hx

Частные решения этого уравнения имеют вид

w Ae x.

Подставляем это выражение в уравнение (5) и получаем характе ристическое уравнение

EI 4 +SI2 0,

которое имеет два корня действительных и два чисто мнимых:

Общее решение уравнения (5) представим в виде

w(x) A1sh)x A2 ch)x+ A3sin)x A4cos)x.

Полученное решение подставляем в (4) и получаем общее решение для функции прогиба

Для определения произвольных постоянных подставляем общее решение (6) в граничные условия (3). Поскольку функция cosIt не равна тождественно нулю, то в итоге приходим к системе четырех од нородных алгебраических уравнений для определения четырех произ

Здесь следует отметить, что коэффициенты второго и четвертого уравнений мы сократили на a2 , не равное нулю.

Из первых двух уравнений следует, что A2 A4 0. Для определе ния оставшихся двух неизвестныхM62осталось два уравнения. Чтобы су ществовали ненулевые решения этих двух уравнений, необходимо, чтобы их определитель равнялся нулю:

Таким образом, мы получили так называемое частотное уравне ние для данной балки, и пришли к завершающему этапу первой поло вины задачи. Из полученного уравнения можно определить частоты собственных колебаний балки. Действительно, раскроем полученный

определитель:

2sh)Lsin)L 0.

Гиперболический синус равен нулю только при ) 0. Поэтому не нулевые решения для определения частот колебаний получаются из

Формы колебаний, являются собственными функциями данной задачи и определяются здесь очень просто.

420 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Подставляем найденные частоты в уравнения (7): A1shn' A3sinn' 0,

A1shn' A3sinn' 0.

Как видим, эти уравнения выполняются при A1 0 и произволь ных ненулевых значениях констант A3:

A3sinn' 0 при A3 bn 0, n 1, 2, 3,….

В результате мы определили частоты колебаний In и формы коле баний шарнирной балки и можем записать общее решение для функ ции w(x):

n 1 L

Данный пример шарнирной балки — это редкий случай в теории изгиба балок, когда система частных решений, удовлетворяющих и дифференциальному уравнению, и граничным условиям, может быть использована для разложенияM62в ряд Фурье функции начального про гиба балки. Система синусов является полной на отрезке ?0, L@, поэто му заданную функцию V0(x) начального прогиба балки можно разло жить в ряд Фурье именно по синусам и определить коэффициенты bn точно так же, как это делалось при решении задач о колебаниях стру ны. Окончательный вид решения, описывающего весь колебательный процесс, получается таким же, как и для струны:

где bn — коэффициенты ряда Фурье заданной функции V0(x).

9.3.2.Расчет частот поперечных колебаний консольной балки

супругой опорой на втором конце

Рассмотрим теперь типичный случай теории поперечных колеба ний балки, когда аналитическое решение можно получить только для определения частотного уравнения, решить его графически и ограни читься определением только частот колебаний, а для определения функции V(x, t) нужно использовать численные методы.

Рассмотрим балку с жесткой заделкой на левом конце и с упругой опорой на правом конце (рис. 9.7). На данном этапе решения задачи