Основы высшей математики для инженеров 2009

462 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

ным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами

где )i , *i , Li — заданные числа, соответствующие условиям данной конкретной задачи. В разных частных случаях они имеют определен ный физический смысл.

В этой связи представим здесь основные предпосылки и суть ко нечно разностного метода прогонки, на основе которого нужно вы полнить данную работу.

При использовании метода конечных разностей решения диффе

ренциальных краевых задач, поиск функции y(x) заменяется вычислени ем последовательности ее M62значений в заданных точках с координатами

x1 0, x , x3,… , xN 1, xN l

и постоянным шагом между ними dx l4N 15. Условие выполнения дифференциального уравнения во всех точках заданного отрезка ?0, l@ заменяется требованием его выполнения во всех внутренних точках с координатами x2, x3,… , xN 1, а на концах отрезка x1 0 и xN l должны выполняться граничные условия.

При записи дифференциального уравнения во внутренних узловых точках производные заменяются конечными разностями. При замене первых и вторых производных центральными разностями получаем

yk y4xk 5, k 2, 3, 4, …, N 1.

После преобразований внутренних конечно разностных уравне ний получаем систему 4N 25 алгебраических уравнений с N неизвест ными y1, y2, y3, … , yN 1, yN :

где для коэффициентов этих уравнений получены следующие вы ражения

k 2, 3, 4, …, N 1.

Аппроксимация граничных условий

Граничные условия сдвигаем на полшага от концов заданного от резка изменения переменной х:

)1y (x12) *1y(x12) L1,

)2 y (xN 12) *2 y(xN 12) L2 .

Вконечных разностях:

Таким образом, первое граничное условие позволяет выразить Y1 через Y2 :

464 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Коэффициенты этих уравнений получили название прогоночных коэффициентов, поскольку для них получаются рекуррентные соот

и вычислять их нужно последовательно в цикле от второго до по следнего.

Осталось неиспользованным пока второе граничное условие

После выполнения прямой прогонки подставляем в левую часть второго граничного условия полученное последнее соотношение:

YN 1 PN 1YN qN 1

и определяем YN :

PN 1YN qN 1M62PbYN qb, YN qb qN 1 .

N 1 b

Теперь в цикле обратной прогонки по формулеP (8) вычисляемP ис комую функцию во всех узловых точках.

9.8.2. Алгоритм расчета температурных полей

Дифференциальное уравнение теплопроводности, которое исполь зуется для расчета распределения температуры по толщине стенки

где R2 — радиус кривизны данного окружного сечения; с — теплоем2 кость материала на единицу массы; 4c+5 — теплоемкость на единицу объема; х — координата по толщине оболочки в данном окружном се чении. Причем x 0 на внутренней поверхности оболочки, 0 x h, h — толщина оболочки.

После записи производной по времени в конечных разностях

уравнение (10) по аналогии с уравнением (1) можно представить в виде

Здесь введенные ранее обозначения коэффициентов уравнения (1) b, c, f заменены на bk , ck , fk, чтобы не было путаницы с коэффициен том теплоемкости с.

Решать данное уравнение нужно последовательно в цикле по вре мени с шагом -t от t -t до заданного t TauEnd. При t 0 температу ры нам известны, они заданы начальным условием.

Перед началом цикла по времени в массив температур во всех уз ловых точках по координате x xk , k 1, 2, 3, …, N нужно заслать на чальное температурное поле, заданное как одномерный массив Т0(К):

DO K = 1,N

Tk(K) = T0(К) ! Начальное условие

Enddo

M62

Или с помощью одного оператора: Тk = Т0. В начале цикла по времени после оператора DO tau = dt, TauEnd, dt

необходимо вычислить коэффициенты граничных условий )i , *i , Li, соответствующие заданным условиям теплообмена данной конкрет ной задачи. Граничные условия во всех вариантах заданий можно представить в следующем виде.

где k — номер точки по по координате х, n — номер шага по времени, в программу расчета он нигде не входит; G11, G12, G13, G14 — коэффици енты, соответствующие данному варианту заданий.

466 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Сравнивая граничные условия (12) и (2), видим, что в (12)

Поэтому здесь

Таким образом, расчет температурных полей сводится к последо вательному решению шаг за шагом по времени обыкновенного диф ференциального уравнения второго порядка. На каждом шаге по вре мени результатом расчета является массив температур в узловых точ ках. В цикле по времени нужно предусмотреть запись результатов во внешний файл для последующего использования не с шагом интегри рования dt, а с некоторым другим шагом dtp, при котором достаточно будет информации об изменении температурных полей во времени.

9.8.3. Фортран>программа решения краевой задачи с дифференциальным уравнением 2>го порядка

Представленную ниже Фортран программу решения обыкновен ного дифференциального уравнения второго порядка с произвольны ми коэффициентами и произвольными граничными условиями при незначительных изменениях можно включить в качестве подпрограм мы в программу расчета температурных полей.

PROGRAM difur

!Differential equation: d2Y+b(x)dY c(x)Y=f(x)

!Boundary conditions: Alfa1*Y (0)+Beta1*Y=Gama1

!Alfa2*Y (l)+Beta2*Y=Gama2

ALLOCATABLE P(:),q(:),Xk(:),Yk(:)

OPEN(11,FILE=’ZADANO.txt’) OPEN(12,FILE=’RESULT_Y.txt’)

READ(11,*)N,eL,Alfa1,Beta1,Gama1,Alfa2,Beta2,Gama2 WRITE(*,’(2x,A,I5, 2x,A,F4.0,/,&

2x,A,F4.0, 2x,A,F4.0, 2x,A,F4.0,/,& 2x,A,F4.0,2x,A,F4.0,2x,A,F4.0)’)&

‘N=’,N,’eL=’,eL,

‘Alfa1=’,Alfa1,’Beta1=’,Beta1,’Gama1=’,Gama1,&

‘Alfa2=’,Alfa2,’Beta2=’,Beta2,’Gama2=’,Gama2

WRITE(12,’(2x,A,I5, 2x,A,F4.0,/,& 2x,A,F4.0, 2x,A,F4.0, 2x,A,F4.0,/,&

2x,A,F4.0,2x,A,F4.0,2x,A,F4.0)’)& ‘N=’,N,’eL=’,eL,M62

‘Alfa1=’,Alfa1,’Beta1=’,Beta1,’Gama1=’,Gama1,& ‘Alfa2=’,Alfa2,’Beta2=’,Beta ,’Gama2=’,Gama2

ALLOCATE (P(N),q(N),Xk(N),Yk(N))

dx=eL/(N 1); P(1)= (Beta1/2.+Alfa1/dx)/(Beta1/2. Alfa1/dx) q(1)=Gama1/(Beta1/2.+Alfa1/dx); Xk(1)=0.

DO K=2,N 1 Xk(K)=Xk(K 1)+dx; x=Xk(K)

Ak=1. b(x)*DX/2.; Ck=1+b(x)*DX/2.; Bk=2.+c(x)*DX**2; dk=f(x)*DX**2 P(K)=Ck/(Bk Ak*P(K 1));q(K)=(Ak*q(K 1) dk)/(Bk Ak*P(K 1))

ENDDO Pb= (Beta2/2.+Alfa2/dx)/(Beta2/2. Alfa2/dx) qb=Gama2/(Beta2/2. Alfa2/dx)

write(*,’(2x,A,F6.2,3x,A,F6.2)’)&

‘x=’,Xk(1+m*(K 1)),’y=’,Yk(1+m*(K 1)) CALL sleepqq(1000)

Enddo

468 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

write(12,’(2x,A,F6.2,3x,A,F6.2)’)&

((‘x=’,Xk(1+m*(K 1)),’y=’,Yk(1+m*(K 1))),K=1,11) WRITE(*,*) ‘ PROGRAM difur is terminated!!! OK!’ PAUSE

Stop

end Program difur FUNCTION b(x)

b=sinh(x)/x RETURN

End FUNCTION b

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Александрова П. С. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: в 2 ч. М.: Наука, 1975.

2.Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

3.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1987.

4.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитиче ской геометрии. М.: Наука, 1980.

5.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисле ние. М.: Наука, 1980.

6.Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

7.Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

8.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражне ниях и задачах. М.: ВысшаяM62школа, 1986.

9.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Нау ка, 1967.

10.Емцев А. М. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1987. С. 439.

11.Зорич В. А. Математический анализ: в 2 ч. М.: НЦНМО, 2001.

12.Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1971.

13.Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1971.

14.Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф. Курс высшей математи ки. М.: Высшая школа, 1968.

15.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

16.Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и аналитическая геомет рия. М.: Изд во МГУ, 1980.

17.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1980.

18.Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

19.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пе ременного. М.: Гос. изд во физ. мат. лит., 1958. С. 473

20.Липовцев Ю. В. Гидравлический удар в трубах // Изв. вузов. Ядерная энер гетика. 1998. № 2. С. 29–35.

21.Липовцев Ю. В. К устойчивости упругих и вязко упругих оболочек при наличии локальных напряжений // Инж. ж. МТТ. 1968. № 6. С. 174–178.

22.Липовцев Ю. В. Разностный метод решения задач устойчивости оболочек вращения // Теория прастин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 166–172.

23.Липовцев Ю. В. Расчет на прочность оболочек вращения. Температурные напряжения. Обнинск: ИАТЭ, 2002.

24.Липовцев Ю. В. Постановка и алгоритмы решения нестационарных осе

симметричных краевых задач термоупругости для оболочек враще ния // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. № 6. С. 954–964.

25.Липовцев Ю. В., Третьякова О. Н. Вычислительная математика в примерах и задачах механики: учеб. пособие. Обнинск: ИАТЭ, 1989.

26.Липовцев Ю. В., Третьякова О. Н. Конечно разностное решение одномер ной нестационарной задачи радиационно кондуктивного теплообмена // Инж. физ. ж. 1986. Т. 51. № 5. С. 840–847.

27.Липовцев Ю. В., Третьякова О. Н. Механика для инженеров. М.: Вузовская книга, 2005.

28.Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль ных уравнений. Л.: Изд во ЛГУ, 1955.

29.Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

30.Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

31.Петровский И. Г. ЛекцииM62об уравнениях в частных производных. М.: Физ матгиз, 1961.

32.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление: в 2 т. М.: Физматгиз, 1972 (т. 1); 1978 (т. 2).

33.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

34.Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, т. 1, 1982; т. 2, 1984.

35.Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специаль ные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука, 1973.

36.Тепло и массообмен. Теплотехнический эксперимент: справочник / под общей ред. В. А. Григорьева и В. М. Зорина. М.: Энергоиздат, 1982.

37.Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Обыкновенные дифферен циальные уравнения. М.: Наука, 1979.

38.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

39. Федосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материа лов. М.: Гостехиздат, 1953. С. 165

40.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:

в3 т. М.: Наука, 1969.

41.Щипачев В. С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 2001.