Основы высшей математики для инженеров 2009

Рис. 9.7

следует напомнить, что дифференциальное уравнение колебания ба лок получено из уравнений равновесия внутреннего элемента балки. Поэтому оно применимо ко всем случаям закрепления балки на кон цах. Следовательно, и данная задача у нас решена до получения обще го решения для функцииM62w(x):

V(x, t) (A1sh)x A ch)x+ A3sin)x A4cos)x)cosIt.

Для данного случая необходимо теперь получить граничные усло вия, соответствующие условиям закрепления балки, и продолжить ре шение. Жесткая заделка ограничивает перемещения и поворот попе речного сечения. Поэтому при x 0 у нас наглядно очевидные условия

w(0) 0, w (0) 0.

Граничные условия при x L необходимо получить из условий равновесия элемента балки, прилегающего к границе. Такой элемент показан на рис. 9.6. Как видим, здесь возможно некоторое перемеще ние w(L), но при этом перемещении возникает сила реакции упругой опоры, которая пропорциональна перемещению

RB kyV(L, t),

где ky — коэффициент жесткости упругой опоры.

Некоторый поворот балки на правом конце тоже возможен, но по вороту препятствует момент MB пружины, который пропорционален углу поворота:

MB kB HV(L, t).

Hx

424 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

Как видим, только при определении первого корня нужно выпол нить некоторые вычисления, а все последующие практически совпада ют с нулями косинуса. В результате можно записать:

П р и м е р 2. На правом конце тоже жесткая заделка. В этом случае первую строку определителя (10) нужно поделить на >, а вторую на X и положить 1> 0 и 1X 0 (> , X ). В результате получим уравне ние, которое отличается от предыдущего только противоположным

Решение этого уравнения можно получить с помощью графика, который представлен на рис. 9.8. Если нижнюю кривую визуально от разить вверх, то очевидно, что получится следующее решение:

ра ограничивает вертикальное (поперечное) перемещение, но не огра ничивает поворот конца балки. Следовательно, X 0, а > (1> 0).

Для определения корней этого уравнения достаточно вспомнить свойства этих двух тангенсов. Тангенс гиперболический монотонно возрастает и асимптотически приближается к единице. Ветви тангенса тригонометрического имеют вертикальные асимптоты, которые про ходят через '2, 3'2, 5'2 и т. д. На отрезке от '2 до 3'2 тангенс ги перболический можно считать равным единице. А тангенс тригоно метрический на этом отрезке равен единице при )L 5'4. Все после дующие точки пересечения тангенсов идут с периодом '. Таким образом, решение можно записать в виде

)nL n' ' , n 1, 2, 3,….

Y

П р и м е р 4. На правом конце — вертикальный ползун, который свободно перемещается по вертикальным направляющим элементам конструкции и не ограничивает перемещений. Следовательно, коэф фициент жесткости > ZC Рассмотрим случай, когда ползун, сделан ный в виде «башмака», ограничивает поворот конца балки. Тогда сле дует положить коэффициент жесткости X (1X 0). В этом слу чае получим

Для решения этого уравнения необходимо повторить только что изложенные свойства тангенсов. В данном случае первое пересечение происходит на отрезке от '2 до 3'2, а затем пересечения повторяются с периодом '. Поэтому решение можно записать в виде

)nL 42n U5' ' , n 1, 2, 3,….

24

Во всех четырех рассмотренных выше примерах решения полу чены с помощью графиков, построенных от руки, но уточнения при веденных здесь результатовM62будут не более как во втором знаке после запятой.

Замечание. В заключение следует отметить, что при расчете на проч ность балок при изгибе концы должны быть закреплены так, чтобы три степени ее свободы на плоскости были ограничены связями. Но задачи расчета частот колебаний возникают и для элементов механизмов. В этих случаях речь идет не о балках как о реальных объектах, а о применении теории изгиба балок к расчету частот колебаний прямолинейных элемен тов конструкций. При этом математическую теорию изгиба балок попро сту называют «балочной теорией».

9.4. Устойчивость прямолинейных форм равновесия при сжатии. Динамический критерий устойчивости. Примеры

Постановка задачи и общая схема расчета. Примеры. Исследование устойчивости стержня под действием следящей силы. Исследование устойчивости стержня стойки под действием вертикальной силы.

9.4.1. Постановка задачи и общая схема расчета. Примеры

Статический метод Эйлера, который обычно излагается в теории сопротивления материалов, является эффективным при исследовании устойчивости форм равновесия стержней, пластин и оболочек и по

426 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

зволяет определить критическую величину нагрузки и смежные фор мы равновесия, но не дает возможность исследовать смену форм рав новесия на некоторый режим движения.

Данные недостатки статического метода устраняет анализ устойчи вости, проводимый на основе теории маловозмущенных движений. Суть такого подхода сводится к следующему.

На систему, находящуюся первоначально в равновесии, наклады ваются малые возмущения, которые переводят ее из состояния равно весия к некоторому движению, и по свойствам этого движения делает ся вывод об устойчивости или неустойчивости исходной формы рав новесия. Эта общая характеристика динамического метода указывает на возможное многообразие формулировок критериев устойчивости.

Замечание. Возможность изгиба балки под дейст вием осевой сжимающей силы (рис. 9.8), называется продольным изгибом, а сама балка под действием осевой сжимающей силы обычно называется стержнем. Поэтому мы несколько изменяем терминологию, ис пользованнуюM62ранее при выводе уравнения поперечных колебаний балок, а также осевую координату здесь обо значаем буквой z, как это принято обычно в сопромате.

Применительно к задачам устойчивости упру гих стержней в качестве основного невозмущен ного состояния вводится состояние прямолиней ного равновесия под действием заданной осевой силы, и рассматриваются поперечные колебания стержня, обусловленные малыми отклонениями в начальный момент времени.

В качестве примера использования данного метода рассмотрим простейшую задачу устойчи вости прямолинейного стержня с шарнирно за крепленными концами под действием сжимаю щей силы Р (рис. 9.9). В отличие от уравнения ко лебания струны в уравнение малых поперечных колебаний данного стержня сила Р входит с про тивоположным знаком, поскольку здесь она сжи

мающая:

Рис. 9.9

где + — плотность материала; S — площадь поперечного сечения; z — координата по оси с началом отсчета на нижней опоре.

Принимая во внимание полученные выше формы свободных коле баний шарнирного стержня (балки), представим начальные возмуще ния в виде малых отклонений от прямолинейного состояния:

где X0 — некоторый малый параметр.

Решение дифференциального уравнения (1) при граничных усло виях шарнирного закрепления и начальных условиях (2) имеет вид

Дифференциальное уравнение (1) и начальные условия (2) при подстановке выражения (3) для искомой функции прогиба принима

имеет либо чисто мнимые корни /i I, либо действительные / , где

В результате с учетом начальных условий получаем два возможных решения в двух диапазонах изменения сжимающей силы Р:

Первое решение соответствует гармоническим поперечным коле баниям стержня под действием сжимающей силы с частотой I(P), а второе решение означает неограниченное отклонение стержня от пря молинейного состояния при любом (даже бесконечно малом) значе нии параметра начального отклонения X0. Согласно динамическому

428 Глава 9. Методы математического моделирования физических процессов

критерию, второе решение указывает на неустойчивость прямолиней ного состояния стержня при

P '2 EI . l2

Полученный результат совпадает с результатом Эйлера при реше нии данной задачи статическим методом. И это совпадение не случай ное, поскольку при критическом значении сжимающей силы Р часто та поперечных колебаний стержня обращается в ноль:

I(P) 0, (6)

и решение (5) при I 0 и 0 соответствует равновесию стержня в криволинейном состоянии.

Таким образом, если и при других граничных условиях частоты поперечных колебаний стержня с увеличением сжимающей силы Р уменьшаются, и переход значений частоты I от действительных зна чений к комплексным происходит при I 0, то при динамическом методе исследования устойчивости уравнение (6) можно использовать для определения критическойM62силы Р. В этих случаях статический ме тод исследования вполне правомерен и приводит к таким же резуль татам. Однако в общем случае при увеличении нагрузки переход от действительных значений I к комплексным происходит без перехода через ноль, и статический метод Эйлера к решению таких задач не применим.

Рассмотрим общую схему расчета на устойчивость продольно сжа тых стержней при других граничных условиях. Дифференциальное равнение (1) при заданных ненулевых начальных условиях, которые соответствуют отклонению стержня от прямолинейного состояния равновесия, описывает возмущенное движение стержня. Для исследо вания свойств этого движения представим решение для функции про гиба в виде

где w(z) — искомая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям.

Неизвестные пока значения I(P) определяют свойства решения и движения стержня при заданных его начальных отклонениях от пря молинейного равновесия. Действительно, уравнение (1) содержит вто рую производную по времени. Поэтому при дальнейшем решении за дачи мы получим уравнение для определения I, которое в зависи мости от величины сжимающей силы Р, может иметь либо действи

тельные корни, либо комплексно сопряженные. Комплексно сопря женные корни соответствуют неограниченному отклонению стержня от прямолинейного состояния. Следовательно, задача сводится к оп ределению критической силы Р, после превышения которой значения I становятся комплексными.

В качестве примера решения задачи по данной схеме рассмотрим случай жесткой заделки на нижнем конце и подвижного шарнира на верхнем, который нагружен сжимающей силой Р.

После подстановки заданного выржения (7) в уравнение (1) полу чаем обыкновенное дифференциальное уравнение изогнутой оси бал

Общее решение уравнения (8) имеет вид

w(z) Ash*z Bch*z C sin)z Dcos)z.

Подставив общее решение в заданные граничные условия, получа ем систему алгебраических однородных уравнений для определения

произвольных постоянных:

w(0) B D 0, w (0) A* C) 0,