4.3. Функция плотности вероятности нсв f(X)

(дифференциальная функция распределения)

Плотностью вероятностиf(x) (или плотностью распределения) непрерывной СВ называется первая производная от функции распределения

f(x) характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Свойства f(x):

• f

  S=1

  (x)≥0, т.к. F(x) – неубывающая.

• При х→0 или х→∞, f(x) →0

• П

  х

  лощадь фигуры между графиком

плотности вероятности и осью х равна 1.

4.4. Числовые характеристики св

1) Математическое ожидание M(X) - это среднее, наиболее ожидаемое значение СВ .

Для ДСВ

Свойства М(Х):

• Математическое ожидание постоянной есть эта постоянная: М(С)=С .

• Постоянную можно выносить за знак математического ожидания: М(С∙Х)=С∙М(Х).

• Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=М(Х)+М(У).

• Математическое ожидание отклонения СВ от М(Х) равно нулю: М(Х- М(Х))=0.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(Х∙У)=М(Х)∙М(У).

2) Дисперсия D(X) - математическое ожидание квадрата отклонения значений СВ от её математического ожидания:

D(X) = М(Х-М(Х))²

Для ДСВD(X) находится по формуле: т.е.

Свойства D(X):

• D(X)≥0 (дисперсия неотрицательна);

• D(C)=0 (дисперсия постоянной равна нулю);

• D(CX)=C²∙D(X) (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат)

• D(X+C) = D(X) (дисперсия не изменится, если к значениям случайной величины прибавить одно и то же постоянное число)

Более простая формула для вычисления дисперсии:

Доказательство: D(X) = М(Х-М(Х))² = М(Х²-2Х∙ М(Х)+М²(Х))=

=М(Х²)-2М(Х∙М(Х))+М(М²(Х)))=

=М(Х²) – 2М(Х) М(М(Х))+ М(М²(Х)))=М(Х²)- 2М(Х) ∙М(Х)+ М²(Х) = =М(Х²) - 2М²(Х)+М²(Х)=М(Х²) - М²(Х) (по свойствам М(Х))

3)Среднее квадратическое отклонение σ(Х)

σ(Х) имеет те же единицы, что и М(Х).

4) Мода Мо(Х) - такое значение случайной величины Х, которое принимается с наибольшей вероятностью.

5) Медиана Ме (определяется для НСВ, функция распределения которой строго монотонна) - такое значение Х, для которого одинаково вероятно, что значения СВ окажутся меньше или больше его, т.е. Р(Х<Me)=P(X>Me)=1/2 .

6) Коэффициент асимметрии Аs (определяется для НСВ) - показатель асимметричности распределения, определяющий степень скошенности функции плотности вероятности этой величины.

7) Коэффициент эксцесса Еx (определяется для НСВ) – показатель, служащий мерой островершинности кривой функции плотности вероятности этой величины.

Пример: Воспользуемся данными примера, приведённого в Лк3.

Относительная частота появления существительных в подъязыке английской электроники близка к 1/3(априорная вероятность). Типовым синтаксически оформленным сегментом в английских научно-технических текстах является предложение длиной в 10 словоформ. Считая появление отдельных словоформ в этих сегментах независимыми событиями текста, для ДСВ Х - «количество существительных в типовых синтаксически оформленных сегментах»

- задать закон распределения СВХ;

- построить многоугольник распределения;

- определить числовые характеристики ДСВ;

- найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Фунция распределения любой ДСВ всегда является разрывной ступенчатой функцией, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям СВ Х, длина скачка равна вероятности СВ в данной точке.

Для НСВ функция распределения F(x) непрерывна на R.