4.1. Случайная величина (св). Начальные понятия.

1) Случайная величина (СВ )– величина, которая может принимать определённые числовые значения в зависимости от исхода опыта. Обозначается заглавной буквой латинского алфавита. Например, СВ Х= «число сложноподчинённых предложений в тексте определённого объёма».

2) Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать только отделённые друг от друга значения (их конечное или счётное число).

Например, ДСВ Y = «количество глаголов в отрывке текста «Евгений Онегин», длиной 500 словоупотреблений».

3) Непрерывная случайная величина (НСВ) может принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Например, HСВ Z= «высота звука человеческой речи»;

V = «интенсивность звука человеческой речи».

4) Случайная лингвистическая величина: длина слова, количество гласных и согласных фонем, число словоупотреблений в предложении и т.д.

Когда фонолог, лексиколог или грамматист исследует структуру планов содержания или выражения, то он всегда имеет дело с дискретными СВ.

Обращаясь к фонетическим или семантическим исследованиям – исследованиям, касающимся субстанции планов выражения и содержания, лингвист должен оперировать непрерывными СВ.

5) Семантическая интерпретация непрерывной СВ ¹³

Между некоторыми родственными универсальными значениями нет чётких границ, и между ними всегда можно найти бесконечное число переходных смысловых оттенков. Особенно наглядно эта ситуация прослеживается в непрерывности цветового спектра. В каждом языке можно найти средства для обозначения тонких и ещё более тонких оттенков цветов, т.е. семантические интервалы цветового спектра сужаются. Если считать непрерывной СВ некоторое цветовое значение, то окажется, что СВ обязательно примет одно из своих возможных значений при извлечении предложения из соответствующего текста, хотя при многократном повторении опыта это значение будет появляться очень редко.

6) Закон распределения СВ – правило, связывающее значения СВ и соответствующие им вероятности. Для ДСВ закон распределения можно представить в виде таблицы :

Х			…
P			…

где

7) Многоугольник распределения – ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами

p_i

х_i

4.2. Функция распределения св (интегральная функция распределения) f(X)

Функция распределения случайной величины Х равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем x ().

X<х

х

Свойства F(x):

• F(x) – неубывающая, т.е. для всех х, таких, что x₂ >х₁ верно F(x₂)≥ F(x₁);

• - т.к это вероятность;

• При х→-∞, F(x) →0, т.к. F(-∞)=P(X<-∞)=0;

• При х→∞, F(x) →1, т.к. F(∞)=P(X<∞)=1;

Р(a<Х<b)=F(b)-F(a), при a<b

Доказательство:P(X<b) = P(X<a)+P(a<Х<b) X<a a<Х<b

P(a<Х<b)=P(X<b)- P(X<a) = F(b)-F(a)

а b x

Пример. Случайная величина X – число выпавших шестёрок при подбрасывании двух игральных костей.

а) Составить закон распределения случайной величины Х.

б) Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Решение.

а) Найдем вероятности их появления. Пусть А- «появилась 6 на первой кости», В- «появилась 6 на второй кости». Р(А)=1/6, P(B)=1/6, P()=5/6, P()=5/6.

Р(Х=0) ==25/36 (независимые события)

P(X=1)= 10/36.

Р(Х=2) = Р(АВ)=Р(А)Р(В)=1/36.

Заполним таблицу:

Х	0	1	2
Р	25/36	10/36	1/36

Проверка: 25/36 +10/36 +1/36=1

Получили закон распределения СВХ.

б)

_{0 1 2 х}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна нулю, т.к. нет таких значений СВ.}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна Р(Х=0)= 25/36 , т.к. только значение 0 меньше, чем данные х.}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна сумме вероятностей P(X=0) и P(X=1), т.к. Х=0 и Х=1 меньше, чем}

_{F(x)=P(X=0)+P(X=1)= 25/36 +10/36=35/36.}

_{При х>2 F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 25/36 +10/36+1/36=1}

_{Тогда функция F(x) будет иметь вид:}

25/36

35/36

1

F(x)

0 1 2 x

Фунция распределения любой ДСВ всегда является разрывной ступенчатой функцией, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям СВ Х. Длина скачка равна вероятности СВ в данной точке.

Для НСВ функция распределения F(x) непрерывна на R.