3.1. Действия над событиями

1

В

А

. Сумма двух или нескольких событий - это событие,

которое заключается в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. Суммой событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие А+В =«на игральной кости выпало меньше 4 очков, т.е. выпало 1 или 2 или 3»

2

В

А

. Произведениедвух или нескольких событий

- это событие, которое заключается в появлении всех данных событий вместе.

Примеры.

1) Призведением событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка»

будет событие А В =«на игральной кости выпало 2 очка».

2) Пусть событие М = «выбранное слово - имя существительное», событие D = «выбранное слово – является подлежащим», тогда М+D = «выбранное слово является или существительным, или подлежащим или и тем и другим»; МD = «выбранное слово является и существительным и подлежащим».

3.2. Вероятность суммы событий

Т1.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Т1.2. Если А и В – несовместные, то , тогда

вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий

Теорема1.2 верна для конечного числа несовместных событий

Пример. Подбрасывается две игральных кости. Найти вероятность выпадения 6 очков хотя бы на одной.

Решение. Пусть событие А = « выпало 6 на первой», В = «выпало 6 на второй». Тогда А+В = «выпало 6 хотя бы на одной».

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), т.к. А и В- совместные события.

Р(А+В)=1/6+1/6+1/36=11/36.

Следствия из теоремы сложения

Следствие 1. Пусть события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу, тогда

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Пример. В магазин поставляется продукция из трёх фабрик. Вероятность поступления продукции с первой фабрики равна 0,3, со второй – 0,5. Найти вероятность того, что продукция поступит с третьей фабрики.

Решение. События А=«продукция поступила с первой фабрики», В=«продукция поступила со второй фабрики» и С=«продукция поступила с третьей фабрики» образуют полную группу событий. По следствию 1, Р(А)+Р(В)+Р(С)=1, Р(С)=1- Р(А)-Р(В), Р(С)=1-0,3-0,5=0,2.

Следствие 2.

Если - противоположные события, то они образуют полную группу, тогда по следствию (1): →

Пример. Вероятность того, что нужная книга будет найдена в электронной библиотеке, равна 0,82, тогда, по следствию 2, вероятность того, что книга не будет найдена, равна 1-0,82=0,18.

3.3. Вероятность произведения событий.

Определение. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или нет другое. В противном случае события называются зависимыми.

События А₁, А₂, …, А_n называются независимыми, если каждые два из этих событий являются независимыми.

Определение. Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность происхождения события А, при условии, что В уже произошло. Обозначается P(A/B)

Примеры.

1) На карточках разрезной азбуки написано слово «ФИЛОЛОГИЯ». Последовательно извлекают две карточки.

Событие В = «1-я карточка с буквой О», событие А = «2-я карточка с буквой О». Найдём условные вероятности события А при условии, что событие В уже произошло и при условии, что событие В не произошло (т.е.произошло событие ): _.

Так как ,то А и В – зависимые события.

2) Пусть испытание состоит в извлечении карточек и возвращении их обратно. События К = «1-я карточка с буквой О» и D=«2-я карточка с буквой О». являются независимыми, так как появление буквы О на второй извлечённой карточке не зависит от того, появилась или нет буква О при извлечении первой карточки: _.

Т2.1. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое уже произошло.

Для нескольких попарно зависимых событий А₁,А₂,…А_n:

Т2.2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

Примеры.

Для расчёта памяти автомата, распознающего устную речь, и построения алгоритма его работы приходится вычислять вероятность совпадения хотя бы одной из словоформ обрабатываемого текста с соответствующей лексемой, заданной в словаре автомата.

а). Выбрано два одинаковых по объёму отрывка текста, из каждого отрывка произвольно выбирается слово. Нужно определить, что хотя бы одно из двух выбранных слов будет местоимением он, если согласно данным частотного словаря, значение статистической вероятности появления местоимения он в тексте равно 0,0099.

б). Выбрано десять одинаковых по объёму отрывков текста,

из каждого отрывка произвольно выбирается слово. Найти вероятность события D = «Хотя бы одно из десяти выбранных слов текста будет местоимением он».