I. Элементы комбинаторики.

II. Основные понятия теории вероятностей.

Теоретические вопросы

1. Определение комбинаторики, как раздела математики.

2. Применение комбинаторики к решению лингвистических задач

3. Правило сложения и умножения.

4. Размещение. Число размещений из n элементов по m (mn).

5. Перестановка. Число перестановок из n элементов.

6. Сочетание. Число сочетаний из n элементов по m (mn).

7. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

8. Предмет теории вероятностей.

9. Опыт, испытание.

10. Событие: случайное, достоверное, невозможное.

11. Совместные и несовместные события.

12. Противоположные события.

13. Элементарное событие.

14. Событие, благоприятное событию А.

15. Равновозможные события.

16. Полная группа событий. Пространство элементарных событий.

17. Статистическое определение вероятности.

18. Классическое определение вероятности случайного события.

Практические задания.

Элементы комбинаторики.

1. Из 30 букв русского алфавита (исключая ь, ъ, й) необходимо выбрать 2 для кодирования некоторой информации. Сколько имеется возможностей такого выбора, при условии, что

а) буквы кода не повторяются;

б) код может содержать одинаковые буквы?

2. В школе 5 классов на одной параллели. Сколько существует

способов присвоения каждому классу заглавной буквы из первых пяти букв русского алфавита?

3. Определите число перестановок с повторениями, которые можно получить из букв, составляющих слово МАТЕМАТИКА.

4. Сколькими способами можно рассадить учеников класса, если в классе 24 ученика, и за каждой партой должно сидеть 2 человека?

5. Из слов предложения «Сегодня моросит дождь» составляют двухсловные предложения. Сколько таких предложений можно составить?

6. Сколькими способами можно выбрать 3 согласных и 2 гласных буквы из алфавита русского языка для формирования 5-буквенного «слова»?

7. Сколько перестановок можно составить из всех букв слова «ЛОГИКА», в которых на первом месте стоит буква «Л», а на последнем «А»?

8. Из букв слова «МАТЕРИЯ» составляют 4-буквенные «слова» (буквы в «слове» не повторяются). Сколько таких «слов»

а) начинаются с буквы М; б) начинаются с буквы А, а заканчиваются на Я; в) не начинаются с буквы Т?

9. Сколькими способами можно расставить буквы слова ФОНЕТИКА так, чтобы

а) две буквы Н и Е оказались рядом? б) не оказались рядом?

Формулы комбинаторики
Число размещений из	Число перестановок из n элементов	Число сочетаний из
Число размещений с повторениями	Число перестановок с повторениями, (где-количество одинаковых элементов в i – той группе)	Число сочетаний с повторениями

Основные понятия теории вероятностей.

1. Из карточек разрезной азбуки составлено слово «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ». Карточки перемешивают и произвольно выбирают одну из них.

а) Приведите пример:

- достоверного, невозможного и случайного события,

- совместных и несовместных событий,

- противоположных событий,

- элементарных и неэлементарных событий,

- равновозможных событий,

которые могут произойти при данном испытании.

б) Перечислите события, которые образуют полную группу событий, пространство элементарных событий.

в) Найдите события, благоприятные событиям А=«Извлечена карточка с глухой согласной буквой», В=«появилась гласная буква».

г) Найдите вероятность событий:

- «извлекли карточку с буквой Н»;

- «извлекли карточку с буквой И»;

- «извлекли карточку с гласной буквой»;

- «извлекли карточку с буквой А»;

- «извлекли карточку с гласной или согласной буквой».

2. Опыт состоит в угадывании буквы после цепочки букв КОТОРО... Назовите события, образующие полную группу.

3. При условии, что в задаче №1 извлекается произвольно 3 карточки, найдите вероятность событий:

М - « все извлечённые карточки с гласными буквами»;

Q - «извлечено 2 карточки с гласными буквами и одна с согласной».

4. При исследовании прозы Пушкина и Лермонтова обнаружено, что на каждые 500 знаменательных слов у Пушкина приходится около 26 простых самостоятельных предложений, а у Лермонтова – 11. Найдите частоту (относительную частоту) употребления простых предложений у Пушкина и Лермонтова. Гол,141

Где -классическая вероятность события А, n – число равновозможных, элементарных, несовместных событий (исходов), которые могут произойти при данном испытании; m – число событий, благоприятных событию А (из n)

n – число независимых одинаковых испытаний; m – количество появлений события А в n испытаниях. - статистическая вероятность события А

Практическая работа №3.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теорема Бернулли.

Теоретические вопросы

1. Операции над событиями: сложение и умножение событий.

2. Статистическое определение вероятности.

3. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

4. Следствия из теорем сложения вероятностей.

5. Зависимые и независимые события.

6. Условная вероятность

7. Вероятность произведения зависимых и независимых событий.

8. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

9. Независимые испытания. Теорема Бернулли.

Практические задания:

1. Три студента решают задачу.

Событие А = «задачу решил первый студент»; В = «задачу решил второй студент»; C = «задачу решил третий студент».

Выразить через А, В, С события:

D= «все студенты решили задачу»;

Е= «задачу решил только первый студент»;

F = «задачу решил хотя бы один студент»;

К= «задачу решил только один студент»;

М = «ни один студент не решил задачу».

2. В корзине розы разных цветов.

Событие А ={выбрана красная роза}; В = {выбрана белая роза}.

Что означают события: а) , б) , в) , г) , д) , е)

3. Вероятность появления простого самостоятельного предложения в текстах Н.М. Карамзина равна 0,065, а в текстах А.С. Пушкина – 0,132. Из текстов каждого автора извлекается по одному предложению. Найти вероятность событий: а) «оба предложения простые»; б) «хотя бы одно предложение простое»; в) «одно из предложений простое»; г) «оба предложения не являются простыми».

4. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами этого слова положены в урну.

Найти вероятность события А=«Получится слово МАТЕМАТИКА», если: а) последовательно извлекается карточка с буквой и возвращается обратно (безусловная вероятность);

б) карточка с буквой извлекается и не возвращается обратно (условная вероятность).

5. Имеется английский научно-технический текст общей длиной в 400 тыс. словоупотреблений (около тысячи стандартных страниц). По тематике этот текст распадается на следующие 4 выборки разной длины: радиоэлектроника – 200 тыс. словоупотреблений; автомобилестроение – 100 тыс.; судовые механизмы – 50 тыс.;

n	200 000	100000	50000	50000
m	98	57	9	19

строительные материалы. – 50 тыс..

Словоформа ‘machine’ встретилась

в 1-й выборке-98 раз, во 2-й -57, в 3-й – 9, в 4-й – 19 раз.

Определить вероятность того, что извлечённое наугад из данного текста словоупотребление будет словоформой ‘machine’.

б) Пусть наугад извлечённая словоформа в выборке оказалась словоформой ‘machine’.

Найти вероятность того, что эта словоформа извлечена из текста а) по электронике, б) по автомобилестроению; в) по судовым механизмам; г) по строительным материалам.

6. Вероятность появления существительных в румынских текстах по электронике равна 0,59 (статистическая вероятность). Найдите вероятность того, что из 5 произвольно выбранных слов из румынского текста по электронике…

а) ровно 2 будут существительными, б) более двух будут существительными.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо произвести, чтобы вероятность поражения мишени была больше 0,95?

Практическая работа №4 Случайные величины.

Теоретические вопросы

1. Понятие случайной величины (СВ).

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры лингвистических случайных величин.

3. Закон распределения, многоугольник распределения дискретных случайных величин (ДСВ).

4. Функция распределения случайных величин (интегральная функция распределения) и её свойства.

5. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ) (дифференциальная функция распределения). Свойства функции плотности распределения.

6. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) и их свойства.

7. Виды распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона для ДСВ, нормальное распределение, логнормальное распределение для НСВ.

8. Система двух СВ. Независимые СВ. Закон распределения независимых случайных величин.

Практические задания:

Х	0	1	2
Р	0,2	0,5	0,3

1) Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х, если закон её распределения задан таблицей:

2. Вероятность появления глагола в произведениях Л.Н. Толстого равна 0,21, а в произведениях А Куприна - 0,15 (статистическая вероятность). Из текста каждого автора произвольно выбирают по одному слову.

а) Составьте закон распределения случайной величины

X – «Количество глаголов выбранных глаголов»;

б) найти среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной величины Х;

в) найти функцию (интегральную) распределения F(x) и построить её график.

2. Примем, что средняя длина предложения в английских научно-технических текстах равна 10 словоформ. Относительная частота появления существительных в подъязыке английской электроники близка к 1/3(априорная вероятность). Считая появление отдельных словоформ в предложении независимыми событиями текста, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х=«число словоформ в предложении научно-технического текста».

3. Вероятность появления конкретного слова в большом тексте мала. Например, вероятность появления словоформы «море» в сказках А.С. Пушкина равна 0,004.

а) найти вероятность того, что в отрывке из сказок А.С. Пушкина длиной 500 словоформ слово «море» появится 3 раза; появится больше 3-х раз.

б) найти М(Х) и D(Х) случайной величины X- «число словоформ «море» в тексте длиной 500 словоформ».

в) найти наивероятнейшее число появления словоформы «море» в тексте длиной 500 словоформ (наивероятнейшее число появления события х₀ определяется по формуле

5) Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей (интегральной функцией распределения)

а) найти функцию плотности распределения вероятностей f(х);

б) построить графики функций f(x) и F(x);

в) определите вероятность попадания случайной величины X в интервалы

(1; 2,5), (-∞ ; 0) и (5; ∞ ).

6) Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения вероятностей

а) Найдите закон распределения случайной величины Х?

б) Определите числовые характеристики М(Х), D(Х), σ(Х).

в) Постройте график функции плотности вероятности.

г) Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервалы (-1; 3), (-∞ ;-1) и (2; ∞ ).

7) Найти закон распределения двумерной случайной величины Z=2X-3Y, если X и Y независимые СВ, а законы их распределений заданы таблицами:

Х	-1	0	2
Р	0,1	0,2	0,7

Y	0	1
P	0,4	0,6

Практическая работа №5.

Элементы математической статистики.

Теоретические вопросы

1. Предмет математической статистики. Основные задачи математической статистики. Статистические исследования в лингвистике.

2. Генеральная и выборочная совокупность.

3. Объем выборки, объём генеральной совокупности.

4. Репрезентативность выборки.

5. Виды выборок. Способы отбора.

6. Группировка статистических данных. Вариационный ряд.

7. Частота и относительная частота вариант выборки. Дискретный статистический ряд (статистическое распределение).

8. Интервальный статистический ряд.

9. Геометрическая интерпретация статистического распределения выборки. Полигон частот. Гистограмма.

10. Числовые характеристики выборки:а) выборочное среднее;

б) выборочная дисперсия; в) исправленная выборочная дисперсия;

г) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

11. Числовые характеристики вариационного ряда: мода, медиана, размах вариаций.

12. Статистическое оценивание неизвестных числовых характеристик случайных величин. Свойства статистических оценок.

13. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и вероятности по выборке.

14. Интервальная оценка параметров. Доверительный интервал, доверительная вероятность, уровень значимости.

15. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности.

Практические задания:

1. Для исследования распределения букв, передающих гласные, из русского газетного текста извлечено 10 газетных фрагментов по10 букв в каждом. При этом получен следующий неупорядоченный ряд появления гласных в каждом фрагменте: 4;4;4;5;3;4;5;6;4;3.

а) Представьте выборку в виде вариационного ряда.

б) Определите моду, медиану и размах вариаций выборки.

б) Постройте дискретный статистический ряд частот и относительных частот.

в) Постройте полигон относительных частот

г) Найдите числовые характеристики статистического распределения: среднее выборочное, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение).

д) Найдите эмпирическую функцию распределения F_n(x) и постройте её график.

е) Определите по выборке наилучшие оценки математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X) генеральной совокупности Х-частота гласных в русском публицистическом тексте.

2. При изучении Коми-Пермяцкого языка, выбрано 16 фрагментов по 100 словоупотреблений. Для каждого фрагмента найдено среднее значение длины слова. По результатам измерений получена выборка: 3,7; 5,2; 5,7; 6,2; 4,7; 4,2; 6,7; 7,2; 5,2; 6,2;4,7; 3,9; 5,8; 6,5; 5,1; 7,7.

Постройте по выборке интервальный статистический ряд и гистограмму относительных частот.

3) Исследуются стихотворные тексты Николая Заболоцкого. Выбрали 10 фрагментов из стихов поэта по 100 словоупотреблений в каждой и нашли количество глаголов в каждом фрагменте. Получены следующие данные: 16; 20; 13; 15; 16; 14; 13;19; 12; 18.

При условии, что частота употребления глаголов рапределена по нормальному закону, определить абсолютную и относительную ошибку измерения среднего значения числа глаголов в стихотворных текстах Н. Заболоцкого и построить для истинного среднего значения 95% доверительный интервал.

4) Используя данные примера 3, определить, какое минимальное количество фрагментов из текстов стихов Н. Заболоцкого необходимо взять, чтобы а) абсолютная ошибка измерения среднего значения числа глаголов не превышала 2 с доверительной вероятностью 0,90; б) относительная ошибка измерения не превышала 5% с надёжностью 95%.

5) В молдавском публицистическом тексте длиной в 200 тыс. словоупотреблений встретилось 31286 глагольных форм. Определить с вероятность 95% доверительные границы вероятности появления во взятом тексте глагольгого словоупотребления.