Теория вероятности.

Случайные события и их классификация.

Определение: Опытом или испытанием называется реализация определенных условий, которые можно повторить.

Примеры:

1. бросание монеты;

2. игральный кубик;

3. выстрел из ружья или пистолета;

4. вытаскивание карты из колоды;

Определение: Случайным событием называется любой возможный исход опыта.

Обозначение: А, В, С…

Примеры:

1. бросание монеты:

А – герб;

В – решка;

2. игральный кубик:

А₁ – значение 1;

А₂ – значение 2; …

А₆ – значение 6;

3. выстрел из ружья или пистолета:

А – попадание;

В – промах;

4. вытаскивание карты из колоды:

А – туз;

В – бубновая дама;

С – бубновая масть.

Определение: Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдёт при данном испытании.

Примеры:

1. бросание монеты:

М – герб или решка; - достоверное событие.

2. игральный кубик:

Д – выпадение числа очков не более 6 -достоварное событие

Определение: Событие называют невозможным, если оно никогда не произойдёт при данном испытании.

Примеры:

2. бросание монеты:

Е – монета повисла в воздухе - невозможное событие.

2. игральный кубик:

К – выпадение числа очков более 6 -невозможное событие

Определение: События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одно испытание. В противном случае они называются совместными.

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - несовместные

2. игральный кубик; А₁, А₂, А₆ –несовместные

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В - совместные

4. вытаскивание карты из колоды; (А,В – несовместная; В,С – совместная;

А,С – совместная)

Определение: События называются единственно-возможными, если какое-либо из них обязательно произойдет в результате испытания.

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - единственно-возможные;

2. игральный кубик; А₁, А₂, А₆ – не единственно-возможные

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В - единственно-возможные

4. вытаскивание карты из колоды; А,В,С-не единственно-возможные

Определение: Если события несовместные и единственно-возможные, то они называются полной группой событий.

Примеры:

1. бросание монеты; полная группа

2. игральный кубик; неполная группа

3. выстрел из ружья или пистолета; полная группа

4. вытаскивание карты из колоды; неполная группа

Определение: События считаются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что какое-либо из них может происходить чаще, чем другое.

Примеры:

1. бросание монеты; равновозможные

2. игральный кубик; равновозможные

3. выстрел из ружья или пистолета; не равновозможные

4. вытаскивание карты из колоды; не равновозможные

Определение: Если события образуют полную группу и являются равновозможными элементарными событиями, то они составляют классическую схему исходов или пространство элементарных событий.

Примеры:

1. бросание монеты; классическая схема

2. игральный кубик; классическая схема

3. выстрел из ружья или пистолета; нет классической схемы

4. вытаскивание карты из колоды; нет классической схемы

Определение: Если два события составляют полную группу, то они называются противоположными.

Обозначение: А и Ā (всегда, когда не произойдёт А, обязательно произойдёт )

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - противоположные события

2. игральный кубик; А₁ и А₆ -не являются противоположными

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В -противоположные события

4. вытаскивание карты из колоды; В и С не являются противоположными

Вероятность события. Понятие о вероятности.

Определение: Вероятностью события считается объективная численная мера возможности наступления этого события.

Обозначение: Р(А); р;

Считают, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0. Тогда вероятность любого события заключается в пределах от 0 до 1.

(1)

Замечание: Иногда вероятность выражается в процентах. В таком случае полученный результат умножается на 100 (%).

Классическое определение вероятности: Пусть имеется классическая схема, состоящая из n исходов, и пусть m из них благоприятствует событию А. Тогда классическая вероятность события А определяется формулой:

(2)

m – количество благоприятных событию А исходов;

n – всего количество исходов;

Формула 2 удовлетворяет всем требованиям, применяемым к вероятности.

Пример:

1)бросается игральный кубик

А –выпала четная грань

n – 6; m – 3;

2) игральный кубик

А – единица

n – 6; m – 1;

3) колода карт

А₁ – туз

n – 36; m – 4

А₂ – бубновая дама

n – 36; m – 1

A₃ – бубновая карта

n – 36; m – 9

Статистическая вероятность (частость, доля): Пусть производится n опытов, в которых событие А произошло m раз (имело m успехов). Тогда статистической вероятностью, или долей называется отношение

(3)

Пример:

Бросание монеты.

статистическая вероятность:

n – 10; m – 8

классическая вероятность:

n – 2; m – 1

Замечание:

1. Статистическая вероятность может быть найдена только после проведения опытов, а для классической вероятности опыты не нужны.

2. Статистическая вероятность получается различной для разных серий опытов, однако при достаточно большом количестве опытов практически достоверно, что статистическая вероятность будет сколь угодно мало отличатся от классической вероятности (устойчивость статистической вероятности).

Операции над случайными событиями. Вероятности суммы и произведения событий.

1. Суммой события А+В называется такое третье событие С, которое заключается в том, что хотя бы одно из событий-слагаемых произойдет, т.е. либо А, либо В, либо оба вместе.

2. Произведением двух событий А и В называется такое третье событие D, которое заключается в том, что оба события-сомножителя произошли, т.е.

Замечание: Если события не совместны, то их произведение является невозможным событием.

Теорема сложения вероятностей.

(4)длясовместных событий.

(5)для несовместных событий.

Доказательство для несовместных событий.

Пусть имеется n возможных классических исходов.

Пусть m из них благоприятствуют событию А

и пусть k других (других, т.к. события несовместные и у них нет благоприятствующих исходов) исходов благоприятствуют событию В.

Тогда событию А+В благоприятствуют m+k исходов, т.е.

, что и требовалось доказать.

Следствие № 1: Теорема о сложении (формула 5) распространяется на любое конечное число несовместных событий (может быть 3, 4, 5…слагаемых).

Следствие № 2: Если события А₁, А₂, А₃, …образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

(6)полная группа

Доказательство:

Если события образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием, вероятность которого равна 1, т.е.

Следствие № 3: Для противоположных событий справедливо равенство:

(7)

Пример:

В пруду плавает 100 рыб. Из них 20 щук и 10 лещей. Случайным образом ловят одну рыбу.

А) Какова вероятность того что это щука или лещ.

Б) Какова вероятность что это рыба другого сорта

Решение:

А – щука; В – лещ.

А)

Б)

Зависимые и независимые события. Умножение вероятностей.

Пример:

В ящике имеется 10 электрических лампочек из которых 3 неисправны. Наудачу одну за другой вынимают 2 лампочки. Какова вероятность того, что вторая лампочка исправна, если:

А) первая была исправна.

Б) первая была неисправна.

Т.к одну уже вытащили, то остается 9, т.е n – 9.

А)

Б)

Понятие об условной вероятности.

Под условной вероятностью мы понимаем вероятность одного события, вычисленное при условии, что другое событие произошло.

Определение: Условной вероятностью называется число, определяемое формулой:

(8) , (иногда условная вероятность обозначаетсяP(A/B)

где P (AB) – вероятность совместного исполнения события;

P (B) – вероятность того события, которое уже произошло;

Определение: События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или нет второе, в противном случае они называются зависимыми.

Замечание: Для независимых событий условная вероятность совпадает с обычной вероятностью.

(9)

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

(10)для двухзависимых событий;

Для нескольких попарно зависимых событий А₁,А₂,…А_n:

(11)

Для независимых событий теорема умножения вероятностей согласно (9) представлена формулой

(12).

Пример:

В ящике имеется 10 электрических лампочек из которых 3 неисправны. На удачу одну за другой вынимают 2 лампочки.

А) какова вероятность, что обе исправны.

Б) какова вероятность, что обе неисправны.

В) какова вероятность, что одна из двух исправна.

Г) какова вероятность, что хотя бы одна исправна.

Решение: Обозначим события М-1^я-исправна; К-2^я-исправна

События М и К зависимые (т.е. вероятность события К меняется от того, произошло событие М или нет)

А)

Б)

В) "первая хорошая, вторая плохая или первая плохая, вторая хорошая"

Г) "хотя бы одна исправна, т.е. одна или больше ( ≥ 1), первая исправна или вторая исправна

Замечание: Если вопрос задачи звучит как "хотя бы", то часто удобнее перейти к противоположному событию, т.е. "хотя бы одна исправная = 1 – Р (обе неисправны)"

Пример:

Бросаем 2 монеты. Событие А – 2 герба, событие В – 2 решки, событие С – 1 герб и 1 решка. Являются ли равновозможными события? Результаты для каждой из монет независимы.

Решение:

А)

Б)

В) "герб и решка или решка и герб"

Формула полной вероятности и формула Байеса.

Пример:

Однотипная продукция выпускается 3-мя цехами, производительности которых относятся как 1:3:2. Вероятность брака в каждом цехе составляет соответственно 1, 2 и 3%. Все изделия хранятся на одном складе. Наудачу одно изделие выбирается на складе. Какова вероятность, что оно браковано.

Решение:

I – A₁ составляют полную группу

II – A₂

III – A₃

E – бракованное изделие

Пусть событие Е может произойти с любым из событий A₁, A₂, и т.д., образующих полную группу. Тогда полная вероятность события Е определяется формулой:

(12)

Пусть в условиях предыдущего примера известно, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным.

А) какова вероятность, что оно было сделано в первом цеху.

Б) если известно, что изделие браковано, в каком цеху вероятнее всего было сделано.

Ответ на поставленный вопрос (переоценка гипотез при дополнении информации) дают формулы Байеса.

(13)

Доказательство:

Выражая неизвестную величину через известные, получаем формулу 13, что и требовалось доказать.

С помощью формулы 13 отвечаем на вопрос задачи.

Значит, вероятнее всего бракованное изделие будет сделано в первом или втором цеху.

Решение задач с помощью числа сочетаний.

Определение сочетания: Пусть имеется N элементов. Составляем из них комбинации, содержащие M элементов. Если порядок элементов внутри комбинации не играет роли, то такие комбинации называются сочетаниями. Число таких сочетаний определяется формулой:

Пример:

N=10; M=3

Пример:

В студенческой группе 20 человек. Среди них 7 юношей и 13 девушек. Случайным образом отбирают 3-х человек для дежурства. Какова вероятность того, что:

А) все три юноши.

Б) все три девушки.

В) две девушки и один юноша. Г) хотя бы 1 юноша.

А)

Б)

В)

Г) "хотя бы один юноша"

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть событие А может произойти в любом из n испытаний с постоянной вероятностью р, не зависящей от исходов других испытаний. Такие испытания называются повторными независимыми, или схемой Бернулли. Если событие А произошло m раз, то говорят, что произошло m успехов в n испытаниях.

Если р – вероятность успеха, то q = 1 – р – вероятность неуспеха.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что событие А произойдет m раз в n повторных испытаниях (m успехов в n испытаниях) определяется формулой:

(14)

Пример:

Пусть стрелок делает 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность тому, что он попал 2 раза при трех выстрелах.

Решение:

n = 3; m = 2; p - постоянная; q = 1 – p;

Пример:

Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение рабочего дня равна 0,2. всего рабочий обслуживает 4 станка. Найти вероятность того, что хотя бы один из них потребует внимания рабочего.

Решение:

n = 4; m ≥ 1; p – 0,2; q = 0,8;

Асимптотические формулы.

При большом количестве испытаний n формула Бернулли не удобна для вычислений, поэтому применяется приближенные формулы, результаты которых тем точнее, чем больше n.

Формула Пуассона (для редких событий).

Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р, отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний n достаточно велико, а вероятность р мала, т.е. выполняются условия Пуассона:

тогда справедлива формула Пуассона:

(15)

Замечания:

1. Функция, стоящая в правой части формулы 2 называется функцией Пуассона. Значение этой функции определяется по двум параметрам λ и m.

2. Формула 2 является приближенной, а формула 1 точной.

Пример:

Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,995. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет более 3-х браков.

Решение:

n = 1000 ≥ 100 ; m > 3; p = 0,005; q = 0,995;

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. пусть событие А не редкое, а количество испытаний достаточно велико, т.е. выполняются условия Муавра-Лапласа:

(1)тогда справедлива локальная формула Муавра-Лапласа:

(2) ;;локальная функция Муавра-Лапласа

Свойства локальной функции Муавра-Лапласа.

1. 

2. 

3. 

Пример:

Вероятность того, что посеянное семя взойдет равна 0,85. найти вероятность того, что ровно 213 из 250 семян взойдет.

Решение:

n = 250 > 100; m = 213; p = 0,85; q = 0,15;

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть событие А может произойти в любом из M повторных независимых испытаниях с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний велико, а события не редкие, т.е выполняются условия Муавра-Лапласа. Тогда вероятность того, что количество успехов заключено в некотором интервале определяется интегральной функцией Муавра-Лапласа.

(16)

- интегральная функция Муавра-Лапласа Ошибка

Свойства интегральной функции Муавра-Лапласа:

Пример:

Вероятность того, что деталь не пройдет контроль равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей число не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 100.

?

Применим формулу 3 и подставим полученные данные.

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

1. Для симметричного интервала для числа успехов:

Пример:

Вусловиях предыдущей задачи определить вероятность того, что число деталей не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 90.

Применяя формулу 4 получаем:

2. Для доли или частости успехов.

Если доля или частость успехов заключена в интервале, симметричном относительно р, то справедлива формула:

Задача № 1.

Вероятность того, что стрелок попадет в цель равна 0,7. Произведено 400 выстрелов. Найти вероятность того, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Ответ: С вероятностью 0,9281 можно утверждать, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Задача № 2.

В условиях предыдущей задачи определить, какой интервал для частости попаданий можно гарантировать с вероятностью 0,9281.

По таблице наоборот.

(19);

Ответ: Можно гарантировать интервал (0,66; 0,74) для доли попаданий с вероятностью 0,9281.

Задача № 3.

В условиях предыдущей задачи определить, сколько нужно произвести выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

→ (7)

Ответ: Необходимо произвести 400 выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

Случайная величина.

Определение 1: Случайная величина это числовая величина, которая может принимать некоторые значения в зависимости от исхода опыта, с определённой вероятностью.

Определение 2: Случайная величина это числовая функция, аргументом которой является множество случайных событий, т.е. каждому случайному событию ставится в соответствие некоторое число, которое является значением случайной величины.

X, Y – случайные величины.

x, y – их значения.

Определение: Вероятностью того или иного значения случайной величины называют вероятность соответствующего события.

Пример:

бросание игральной кости

Х – число выпавших очков – случайная величина

Определение: Случайная величина называется дискретной если ее значения являются дискретными. В противном случае, т.е. если значения случайной величины занимают некоторый числовой промежуток, то случайная величина не является дискретной.

Пример:

Х – число очков на кубике – дискретная случайная величина.

Y – уровень воды в реке занимает некоторый промежуток от 6 до 10 метров, не является дискретной случайной величиной.

Закон распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины – закон, связывающий ее значение с соответствующей вероятностью.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан таблицей, в которой расположены ее значения в порядке возрастания с соответствующими вероятностями.

Замечание:

Так как все значения дискретной случайной величины составляют полную группу, то для любого ряда распределения сумма вероятностей равна 1.

Пример №1:

Стрелок два раза стреляет по мишени. Вероятность попадания равна 0,8. составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий при двух выстрелах.

	0	1	2

Пример №2:

Стрелок имеет три патрона и стреляет до первого попадания или до израсходования все патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных выстрелов.

	1	2	3
	Попал	Не попал и попал	Не попал и не попал и попал или не попал и не попал и не попал
	0,6

Операции над случайными величинами.

Пусть даны две случайные независимые величины Х и Y. Две случайные величины являются независимыми, если независимыми являются события, составляющие любой порядок их событий.

1. умножение на число – значения случайных величин умножаются на это число, а их вероятности не изменяются;

2. возведение в натуральную степень (квадрат, куб и т.д) – значения возводятся в степень, а вероятности не изменяются;

3. сложение, вычитание, умножение независимых случайных величин – значения попарно складываются, а соответствующие вероятности перемножаются;

Пример:

Даны две независимые случайные величины Х и Y. Составить закон распределения случайной величины Z = 2X + Y.

	-1	0	1
	0,3	0,2	0,5

	0	2
	0,2	0,8

			-2		0	2
			-1		0	1
			0,3		0,2	0,5
0	0,2				0
2	0,8

Z	-2	0	2	4
	0,06			0,4

Числовые характеристики случайной величины.

1. Математическое ожидание.

Обозначение:

Пояснение: математическое ожидание характеризует среднее, наиболее ожидаемое значение случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием называется сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности, т.е.:

(1)

Пример № 1: (см. выше)

Вычислите математическое ожидание.

Свойства математического ожидания.

1. 

2. 

3. 

4. если X и Y – независимые случайные величины →

2. Дисперсия.

Пояснение: дисперсия характеризует средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение: Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:

(2)

Пример:

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Свойства дисперсии.

1. 

2. 

3. 

4. если X и Y – независимые случайные величины →

5. формула для вычисления дисперсии:

(3)

Доказательство:

?

Пример № 1:

Вычислить дисперсию по формуле (3).

	0	1	4
	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

3. Среднее квадратическое отклонение.

Пояснение: характеризует средний разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

Обозначение:

(4)

Пример № 1:

Числовые характеристики суммы и среднего арифметического случайных величин.

Пусть заданы n независимых случайных величин X₁, Х₂, …, Х_n имеющих математические ожидания a₁, a₂, …, a_n и дисперсии σ², σ²,…, σ². рассмотрим

случайную величинуY, равную их сумме (Y = X₁ + Х₂ + …+ Х_n) и случайную величину Z, равную их среднему арифметическому

тогда математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий

(1)

дисперсия суммы равна

(2)

математическое ожидание среднего арифметического равно

(3)

дисперсия среднего арифметического равна

(4)

Частные случаи: если a₁ = a₂ = …= a_n , т.е все математические ожидания одинаковы, то

(1а)

(3а)

Замечания:

1. Формулы 1-4 следуют из свойств математического ожидания и дисперсии.

2. из формулы 4 следует, что дисперсия среднего арифметического случайных величин в n раз меньше, чем дисперсия каждого из слагаемых, поэтому для уменьшения ошибки рекомендуется использовать среднее арифметическое.

Важные примеры дискретных случайных величин.

1. Биноминальная случайная величина (закон Бернулли).

Случайная величина Х называется биноминальной или распределенной по закону Бернулли, если ее закон распределения имеет следующий вид:

	0	1	2	…		…

, где

т.е Х – число успехов m в n повторных независимых

испытаниях, а вероятности вычисляются по формуле Бернулли.

Пример № 1 – пример биноминальной случайной величины.

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Числовые характеристики биноминальной случайной величины.

Можно доказать, что:

(5)

(6)

(7)

Пример № 1 по формулам 5, 6, 7 вычислить числовые характеристики случайной величины.

2. Распределение Пуассона.

Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид:

	0	1	2	…		…

где вероятность того, что X примет значение m вычисляется по формуле

(8)

(9)

Пример:

Известно, что для случайной величины Х вероятность того, что Х принимает значение К равна:

Определить по какому закону распределена эта случайная величина, найти ее математическое

ожидание, дисперсию и вероятность того, что она принимает значение равное 3.

1. распределение Пуассона;

2. Математическое ожидание = 2; Дисперсия = 2;

3. 

3. Частость или доля успехов в n повторных независимых испытаниях.

Используя формулы 5 и 6 и свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:

(10)

(11)

Функция распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде функции распределения, которая тоже связывает значение случайной величины и соответствующую вероятность.

Определение: Функцией распределения называется числовая функция числового аргумента F(x) равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше этого аргумента, т.е.:

(12)

Общие свойства функции распределения.

1. F(x) – неубывающая;

2. - т.к это вероятность;

3. 

4. 

Пример:

Найти функцию распределения и построить график для примера 1.

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

1. 

2. 

3. 

4. 

Особенности функции распределения для дискретной случайной величины.

1. График имеет ступенчатый вид.

2. Самая нижняя ступень равна 0, самая верхняя равна 1.

3. Скачки ступеней происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины.

4. Скачок ступени происходит на величину p₁, p₂, …

Пример:

	1	2	3
	0,3	0,2	0,5

Непрерывная случайная величина.

Определение: Случайная величина Х называется непрерывной, если она может принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна на (.

Определение: Пусть задана непрерывная случайная величина Х. Пусть ее функция распределения F(x) дифференцируема. Плотностью вероятности φ(х) называется первая производная от функции распределения.

(1)

Свойства плотности вероятности.

1. - производная неубывающей функции;

2. 

3. 

4. 

Площадь фигуры под графиком плотности вероятности равна 1.

Доказательство:

5. 

Геометрически это площадь левее β

6. 

Геометрически это площадь правее α

7. 

Геометрически это площадь между α и β

Следствие из свойства 7:

Для любой непрерывной случайной величины

вероятность принять любое конкретное значение равна 0, т.е. если Х – непрерывно, то:

Доказательство:

Вывод: Для непрерывной случайной величины безразлично включать ли концы интервалов в неравенство или нет.

Пример 1н.:

Плотность распределения задана формулой:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

1. Математическое ожидание.

(2),если такой интеграл сходится.

2. Дисперсия.

(3) ,если такой интеграл сходится.

3. Среднее квадратическое отклонение.

(4)

Замечание: свойства числовых характеристик сохраняются.

Пример 1н.:

Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Пример:

Функция распределения имеет вид:

1)

2)

3)

Важный пример непрерывной случайной величины.

Нормально-распределенная случайная величина (закон Гаусса).

Определение: Случайная величина называется нормально-распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

(5)

Замечание: нормальный закон распределения зависит от двух параметров: a, σ (σ²) (N(a;σ)).

Можно доказать, что математическое ожидание Х_N равно a.

(6)

Пример:

Написать плотность вероятности

Функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности и имеет вид:

(7), где Φ(t) – интегральная функция Муавра-Лапласа.

Замечание: т.к. Φ(t) – затабулирована, то для нормального закона распределения, можно вычислить любые вероятности. Графиком плотности вероятности нормального закона распределения является кривая Гаусса.

Замечания:

1. график симметричен относительно прямой х = а (математическое ожидание);

2. чем больше дисперсия σ², тем ниже max и тем шире пик кривой, т.е. ее разброс, относительно среднего значения.

Вычисление вероятности для нормального закона распределения.