Часть 2. Конспекты лекций

Лекция 1. Исторические периоды развития математики. Основы теории множеств.

1.1. Исторические периоды развития математики.

Одним из наиболее сложных вопросов в математике является описание ее предмета:

«…чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира».

Ф. Энгельс

«В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается, что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».

Н. Бурбаки

В истории развития математики выделяются несколько периодов, которые отличатся как предметом, так и методами научного исследования¹:

1. Период зарождения математики (до VI-Vвв. до н. э.) - происходит накопление фактического материала – эмпирических соотношений, математических понятий модельной природы - определяемого самыми простыми запросами хозяйственной жизни: счёт предметов, измерение площадей и объёмов, составление календарей, строительство. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. (рефераты). Период характеризуется отсутствием общей логически обоснованной математической теории, широким использованием эмпирических методов познания (наблюдений, опытов, экспериментов), и связанными с ними индуктивными обобщениями.

2. Период элементарной математики (от VI-V вв. до н. э. по XVI в. н. э.) - период логической систематизации и обоснования накопленных наученных знаний, развития приемов и методов решения математических задач в отрыве от непосредственных потребностей практики. Начало второго периода связано с Древней Грецией. «Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории». (А.Н. Колмогоров) (Фалес Милетский, Пифагор Самосский, Пифагорейское общество, Архимед, Эратосфен (рефераты).

Эвклид (330 г.до н.э.) «Начала» - первая логически обоснованная математическая теория (геометрия), в изложении которой применён аксиоматический метод (в основу теории была положена система основных понятий - аксиом и постулатов). Свойства системы аксиом: полнота, независимость, непротиворечивость.

3. Период создания математики переменных величин (от XVII в. до середины IХ в.) - период существенного расширения предмета математики, развития и обоснования инфинитезимальных методов, а также методов, основанных на идеях формализации и интерпретации математических понятий: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление» (Энгельс Ф. Диалектика природы).

Впервые понятие переменной величины вводит Р. Декарт (XVII в., «Аналитическая геометрия»), используется в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница (и других) – основателей дифференциального и интегрального исчисления.

4. Современный период развития математики (от середины IХ в. до наших дней) – период отрыва предмета математики от проблем и запросов практики и естественных наук, возникновения многоуровневых математических абстракций, раскрытия внутренней взаимосвязи математических теорий. Начало этого периода связывают с появлением неевклидовых геометрических систем (геометрия Лобачевского, геометрия Римана).

«Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики (Ф. Энгельса) наполняется всё более богатым содержанием».

А.Н. Колмогоров.

Период характеризуется также включением в предмет математики и самой математики – изучением внутренней архитектуры математики методами самой математики, исследованием выразительных возможностей ее языков, принципов и методов математического познания действительности, логической систематизации и обоснования математического знания. Вся эта работа позволяет значительно расширить и область приложений математики. Уже в конце ХIХ математика всё глубже проникает в те сферы, которые на протяжении долгого времени было принято считать чисто «гуманитарными», в том числе и в языкознание. Первоначально математические методы в лингвистике стали использоваться для того, чтобы уточнить основные понятия языкознания, получить количественные характеристики. Начиная с 50-х годов прошлого века, математика применяется в лингвистике при создании теоретического аппарата для описания строения языков (как естественных, так и искусственных), что способствовало решению таких задач, как машинный перевод, машинный поиск информации, автоматическая обработка текста. Изучение языка методами математической статистики позволяет более точно определить его качественные свойства.

Большой вклад в применение математических методов в филологии внесли отечественные и зарубежные лингвисты и математики: Фердинанд де Соссюр, И Бодуэн де Куртенэ, В.В. Кромер, Дж.Х. Гринберг, М.В. Панов, Б.Н. Головин, Р.Г. Пиотровский, А.В. Гладкий, Н.Ф. Алефиренко, З.И. Тарланов, В.А. Звегинцев, и другие