2.1.3. Основные понятия комбинаторики

1) Размещение из n элементов по m (m≤ n) - упорядоченное подмножество из m элементов множества, которое содержит n элементов.

Например, все размещения из 4 элементов множества {A,B,M,K} по 2 составляют следующее множество: {A,B},{A,M},{A,K},{B,M},{B,K},{M,K},{B,A},{M,A},{K,A},{M,B}, {K,B}, {K,M}.

Два размещения отличаются составом или порядком расположения элементов.

Число размещений из n элементов по m обозначается и находится по формуле:

Доказательство:

2) Перестановка из n элементов – это размещение из n элементов по n.

Например, все перестановки из 3 элементов множества {f; p;q} составляют следующее множество: {f;p;q}, {f;q;p}, {p;q;f}, { p;f;q}, {q;f;p}, {q;p;f}.

Две перестановки отличаются только порядком расположения элементов.

Число перестановок из n обозначается и определяется по формуле:

Доказательство:

3) Сочетание из n элементов по m (m≤ n) - неупорядоченное подмножество из m элементов, множества, которое содержит n элементов.

Например, все сочетания из 4 элементов множества {A,B,M,K} по 2 составляют следующее множество: {A,B},{A,M},{A,K},{B,M},{B,K},{M,K}.

Два сочетания отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается и находится по формуле:

Доказательство:

2.1.4. Число перестановок, размещений, сочетаний с повторениями (для тех случаев, когда среди образующих элементов есть одинаковые)

1) Число перестановок из n элементов с повторениями:

(где ni - количество одинаковых элементов в i – той группе)

2) Число размещений из n элементов по m с повторениями:

3) Число сочетаний из n элементов по m с повторениями

2.1.5. Комбинаторные задачи в лингвистике:

Имеется алфавит из n элементов. Из этих элементов составляют комбинации (соединения), без повторения или с повторением элементов. Сколько таких соединений можно составить?

Например:

1) Имеется алфавит из 20 букв. Сколько можно составить трёхбуквенных «слов», если буквы в «слове» не повторяются?

2) Сколько можно составить 2-буквенных комбинаций для денежных знаков, если взять 30 букв в русском алфавите ( без ъ, й, ь)?

3) Сколько перестановок можно составить из всех букв слова “WORD” ?

4) Найти количество комбинаций, которые можно составить из букв слова «математика».

5) Из 7 слов некоторого языка составляют 3-х словные предложения без повторения слов. Причём, два предложения различаются только составом, но не порядком расположения слов. Сколько таких предложений можно составить?

2.2. Начальные понятия теории вероятностей

• Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

• Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.

• Цель – осуществление прогноза в области случайных явлений.

Возникновение теории вероятностей как науки относится к XVII веку и связано с такими именами, как Галилей, Гюйгенс, Паскаль, Ферма, Якоб Бернулли.

«Познавательная ценность теории вероятностей обусловлена тем, что массовые случайные явления в своём совокупном действии создают строгие закономерности. Само понятие математической вероятности было бы бесплодно, если не находило бы своего осуществления в виде частоты появления какого-либо результата при многократном повторении однородных условий». (Из предисловия А.Н. Колмогорова к сочинению Я. Бернулли «О законе больших чисел». М.: Наука, 1986. С.4).⁴

В середине XIX – начале XX века вероятностно-статистические методы стали применяться в филологии в работах таких учёных, как И.А. Бодуэн де Куртенэ, А.М. Пешковский, М.Н. Петерсон, Е.Д. Поливанов, В.В. Виноградов и других.

Б.Н. Головин в труде «Язык и статистика» указывает основания вероятностно-статистического изучения языка и речи.⁵

1) Объективная присущность языку количественных признаков, количественных характеристик (анализ всех грамматических категорий устанавливает их относительный функциональный вес в разных стилях литературного языка, соотношения между словами, слогами и фонемами позволяют дать классификацию языков, которую можно использовать и при изучении их истории).

2) Внутренняя зависимость, существующая между качественными и количественными характеристиками языковой структуры (количественные различия на низшем уровне дают качественные различия на высшем уровне: количество фонем в языке отражается на качестве морфем и слов, количество морфем – на качестве слов, количественные характеристики на морфологическом уровне дают о себе знать в качестве синтаксических явлений).

3) Частоты различных элементов подчиняются статистическим законам (полученные опытным путём данные о частотах и вероятностях частей речи, некоторых типов предложений, формах глагола говорят о колебаниях частоты каждого изучавшегося элемента языка около некоторой средней величины, причём колебания эти статистически закономерны).

«Язык может рассматриваться как структура, элементы которой и функционируют в речи и развиваются, подчиняясь тем или иным вероятностно-статистическим законам». ⁶

К числу первичных понятий теории вероятностей относятся:

1) Опыт со случайным исходом или испытание - совокупность условий, при которых данное событие может произойти, а может и не произойти.

Классическими примерами опытом со случайным исходом являются: подбрасывание монеты с выяснением того, выпадет «орел» или «решка»; подбрасывание игральной кости с выяснением количества выпавших очков или их четности; шара определенного цвета из урны с шарами нескольких цветов. В лингвистике в качестве такого опыта можно рассматривать опыт появления определенного количества глаголов в фрагменте из стихов некоторого поэта и т.п.

2) Исход опыта (элементарное событие) – результат опыта со случайным исходом, вероятность (степень ожидания) которого считается известной.

Так, в математике считается, что опыт с подбрасыванием монеты имеет всего два элементарных исхода, вероятности которых одинаковы (и составляют 0,5), так как монета правильная (имеет форму цилиндра, везде одинаковой плотности, ее центр тяжести расположен в середине отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра).

Описание опыта может быть заменено описанием множеством всех его элементарных исходов. Так, например, опыт с подбрасыванием игральной кости может быть заменен множеством из 6 равновероятных элементарных исходов (вероятность каждого 1/6) – количества выпавших очков; или множеством из 2 равновероятных элементарных исходов – выпало четное количество очков или нечетное (вероятность каждого 0,5).

3) Случайное событие – это любое подмножество множества всевозможных элементарных исходов опыта.

Достоверное случайное событие – произойдёт обязательно при данном испытании, так как равно самому множеству всевозможных исходов опыта. Невозможное

в) невозможное - никогда не произойдёт при данном испытании.

Примеры:

А=«выпало число 6 на игральной кости» - случайное событие;

В=«извлекли белый шар из урны с белыми и красными шарами» - случайное событие;

С=«извлекли белый шар из урны с белыми шарами» - достоверное событие;

D=«извлекли белый шар из урны с синими шарами» - невозможное событие;

E=«в произвольно взятом отрывке текста данного автора длиной 100 словоформ содержится 12 глаголов» - случайное событие.

3) Совместные события могут произойти вместе при одном испытании, несовместные – не могут произойти вместе.

Пример:

событие А = «попал по мишени 1-й стрелок» и событие В = «попал по мишени 2-й стрелок» при одновременной стрельбе двух стрелков – совместные события;

событие Е = «выпало 5 очков» и событие М= «выпало 6 очков» при одном подбрасывании игральной кости – несовместные событие.

4) Равновозможные события – события, для которых нет оснований полагать, что одно из них более возможно, чем другое.

Пример: события «на игральной кости выпало число 6» и «на игральной кости выпало число 1» - равновозможные события (исходя из предположения о симметричности кости);

6) Событие А благоприятно событию В, если всегда, когда произойдёт А, произойдёт В. ? Вводят понятие благоприятных исходов опыта!

Пример: событие «выпало 6 очков на игральной кости» благоприятно событию «выпало чётное число очков».

8) Противоположные события - несовместные события, такие, что если одно из них не произошло, то обязательно произойдёт другое. образуют полную группу событий.

Пример: А = «хотя бы один спортсмен команды занял призовое место», тогда

= «ни один спортсмен команды не занял призовое место».

Лингвистическое испытание - это наблюдение (опыт или измерение) за поведением и признаками изучаемых лингвистических объектов. Результатом лингвистического испытания является лингвистическое событие.

Например, испытание состоит в угадывании буквы, стоящей после сочетания «которо..». События, которые могут произойти: А={появилась буква е}, В={ появилась буква г}, С={появилась буква м}, Д={ появилась буква й}. Все данные события являются случайными, элементарными, несовместными, и образуют полную группу. Достоверное событие - появление буквы «о» после сочетания «которог..». Появление любой другой буквы – невозможное событие. Событие А={появилась буква у} и событие={появился пробел} являются противоположными при угадывании буквы после цепочки «котором..».⁷