Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

б) Если lhl = с, т. е. h = ±с, то ~2 + ~2 = О. Линия пересече-

ния (12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z = с

и z = -с касаются данной поверхности.

в) Если lhl <с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:

у Как видно, линия пересечения есть

эллипс с полуосями (см. рис. 91)

При этом чем меньше lhl, тем больше полуоси ai и Ь1. При h =О они до­ стигают своих наибольших значений: а1 = а, Ь1 = Ь. Уравнения (12.29)

{ ~+~=1,

h=O.

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх­ ности (12.28) плоскостями х = h и у = h.

~Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-

верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх­

ность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, Ь и с называются

полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы­ вается mрехосним; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = Ь = с,

то - в сферу х2 + у2 + z 2 = а2 •

Однополостный гиперболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

z = h,

110

х =о.

Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).

~Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся

трубки. Поверхность (12.30) называется одноnолостнъ~м гипербо­

лоидом.

Заме-чание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида

(12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.

Двухпоnостный гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением

ас

Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере­

сечения определяется уравнениями

Огсюда следует, что:

соответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с).

в) если lhl >с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так

{ а2( *х2-1) + Ь2(~у2- 1) = 1' z = h.

111

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро­

стом lh\.

Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz

(х =О) и Oxz (у= О), получим в сечении гиперболы, уравнения кото­

~У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод се-

чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе­

мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31)

называется двухnо.ttосmным гunepбo.ttov.дoм.

у

у

где р > О, q > О. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В

сечении получим.линию, уравнения которой есть

z = h.

Если h <О, то плоскости z = h поверхности не пересекают; если h =О,

то плоскость z = О касается поверхности в точке (О; О; О); если h > О,

112

то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид

z= h.

Его полуоси возрастают с ростом h.

~При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями

Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверх­

ность (12.33) называется эллuпmu-ческим параболоидом.

Гиперболический параболоид

Исследуем поверхность, определяемую уравнением

z = h,

которая при всех значениях h 1- О является гиперболой. При h > О ее

действительные оси параллельны оси Ох; при h < О - параллельны

пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz

(у = h), будут получаться параболы

{х2 = 2p(z + ~;),

у= h,

ветви которых направлены вверх. При у О в сечении получается

парабола

{х2 = 2pz,

у=О

с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.

Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим пара-

болы у2 = - 2q ( z - ~;), ветви которых направлены вниз.

~Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:

она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется

гuперболи-ческим параболоидом.

113

у

х

х

Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения

2 2 h2

~ + JGЬ = 3, z = h. При h =О она вырождается в точку (О;О;О). При

ас

h =/=О в сечении будем получать эллипсы

х2 у2

{ a2h2 + ь2h2 = 1,

С2 С2

z = h.

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании lhl. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х =О). Получится

распадающаяся на две пересекающиеся прямые

~ - .: = о и ~ + .: = о.

ь с ь с

При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у= О получим линию

{~-~=О,

а с

у=О,

114

Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1Лекции 13-221

§13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

13.1.Основные понятия

~Понятие множества является одним из основных неопределяемых

понятий математики. Под мно-;нсеством понимают совокупность

(собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по

какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин­

ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне­

ния х2 + 2х + 2 =О, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его эдемен­

тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ ского алфавита А, В, ... , Х, У, ... , а их элементы - малыми буквами а,Ь, ... ,х,у, . ..

Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х;

запись х Е Х или х ~ Х означает, что элемент х не принадлежит мно­

жеству Х.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу­ стым, обозначается символом 121.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко­ торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой­

ство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А = {1, З, 15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, З и 15; запись А = {х : О :::; х :::; 2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)

чисел, удовлетворяющих неравенству О :::; х ::::; 2.

~Множество А называется подмно-;нсесmвом множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или В :::> А («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества А и В равни или совпадают, и пишут

А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие

из одних и тех же элементов, называются равными.

~Оббединением (или суммой) множеств А и В называется множе-

ство, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит

хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо­ значают АUВ (или А+В). Кратко можно записать AUB = {х: х Е А или х ЕВ}.

116

~Пересе-чен:и.ем (или произведением) множеств А и В называется

множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­

лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно­

жеств обозначают АnВ (или А·В). Кратко можно записать AnB = {х:

хЕ А их ЕВ}.

Вдальнейшем для сокращения записей будем использовать неко­

торuе простейшие логические символы:

а===} (3 - означает «из предложения а cлeiJyem предложение (З»;

а ~ (3 - «предложения а и (3 равносильны», т. е. из а следует f3 и из (3 следует а;

V - означает «для любого», «для всякого»;

3 - «существует», «найдется»;

: - «имеет место», «такое что»;

f-t - «соответствие».

Например: 1) запись Vx Е А: а означает: «для всякого элемента

х Е А имеет место предложение а»;

2) (х Е А U В) ~ (х Е А или х ЕВ); эта запись определяет

объединение множеств А и В.

13.2.Числовые множества.

Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются 'Числов'Ыми. Примерами числовых множеств являются:

N = {1; 2; 3; ... ; п; ... } - множество натуральных чисел;

IR ---, множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N с Zo с Z с Q с Ж.

Множество IR содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­

кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью

или бесконечной периодической дробью. Так, ~ = 0,5 (= 0,500 ... ), i = 0,333 ... - рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­

ются иррационалънwми.

117

Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого

равен числу 2.

Q Допустим, что существует рациональное число, представленное не­

сократимой дробью т, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

п

(:) 2 = 2, т.е. m2 = 2n2 .

Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) - четное число, т. е. т = 2k.

Подставив т = 2k в равенство m 2 = 2n2 , получим 4k2 = 2n2 , т. е.

2k2 = п2• Отсюда следует, что число п - четное, т. е. п = 2l. Но то­

гда дробь 1;: = ~7 сократима. Это противоречит допущению, что 1;:

дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи­

числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе­ ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать

IR = {х: х =а, а:10:2а:з .•. }, где а Е Z, O:i Е {О, 1, ... , 9}.

Множество IR действительных чисел обладает следующими свой­

ствами.

1. Оно упор.ядо-ченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет

место одно из двух соотношений а < Ь либо Ь < а.

2. Множество IR плотное: между любыми двумя различными чи­

слами а и Ь содержится бесконечное множество действительных чисел

х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а< х < Ь.

Так, если а < Ь, то одним из них является число а! Ь

3. Множество IR непрерьиное. Пусть множество IR разбито на два

непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер­ жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е В

выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще­

ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а ~ с ~ Ь

('Va Е А, 'VЬ ЕВ). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи­ сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда

в классе А нет наибольшего).

118

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач­

ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно­

жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е JR

соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на­ оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)

действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят

«точка».

13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и Ь - действительные числа, причем а < Ь.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже­

ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

(-00,00) = {х: -оо < х < +оо} = JR - бесконечные интервалы (промежутки).

Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -оо и +оо не числа, это символическое

обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево и вправо.

§Пусть х0 - любое действительное число (точка на числовой пря-

мой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (а; Ь), содержащий точку хо. В частности, интервал (хо -е,хо +е), где е >О,

называется е-окресmностью точки х0• Число х0 называется цент­ ром, а число е -- радиусом.

€€

9 Хо~+с: Х

Рис. 97

Если х Е (х0 -е;х0 + е), то выполняется неравенство хо - е < х < < хо+е, или, что тоже, jx-xol < е. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в е-окрестность точки хо (см. рис. 97).

119