quant-1-1-arphf9t1u8h

—Взгляни-ка на то облачко, . . . — Это вьются Бегемошки. . . .

—А что они едят? — снова спросила Алиса.

—Мелкую рыбешку¨ и лягушек! . . .

—А если рыбок не будет? . . .

—Тогда они, конечно, умрут, . . .

—И часто так бывает?

—Всегда, . . . .

Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье» Как и бегемошкам, виртуальным частицам не хватает энергии, чтобы суще-

ствовать, и они всегда распадаются4

вероятность самопроизвольной сборки слоника из отдельных атомов в результате броуновского движения, а среднее время ожидания такого события на много порядков превысит возраст Вселенной). Но даже если энергия нашего ускорителя недостаточна для рождения зеленых¨ слонов, то в процессе столкновения двух частиц зеленый¨ слоник может возникнуть в промежуточном состоянии, чтобы потом распасться (аналогично прохождению частицы при туннельном эффекте через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы). Правда существовать такой виртуальный слоник сможет очень короткое время, определяемое соотношением неопределенности¨

где δE — энергия, которой нам не хватает, чтобы создать слоника, δt — время его существования, а ¯h — постоянная Планка. Хотя вклад процессов с участием виртуальных слоников в рассеяние элементарных частиц исчезающе мал, но другие, не столь тяжелые,¨ объекты действительно начинают заметно (измеримо) влиять на жизнь элементарных частиц на энергиях много меньших, чем энергия, необходимая для их рождения.

Так, например, при β-распаде свободного нейтрона (см. рис. 3.155) он испускает виртуальный калибровочный W − бозон, который тяжелее

4Рисунки слона и бегемошки художника И. И. Казаковой воспроизведены по изданию Льюис Кэрролл «Приключения Алисы в стране чудес; Алиса в Зазеркалье», Петрозаводск: Карелия, 1979.

5Сплошная стрелка — фермион (длинная — барион, короткая — лептон), прозрачная стрелка — заряд. Для античастицы сплошная стрелка рисуется на заднем конце. Для заряженной частицы прозрачная стрелка рисуется на переднем конце для положительного заряда, и на

нейтрона в 80 раз, и энергии на образование которого у нейтрона «почестному» нет. В процессе испускания W − нейтрон n превращается в протон p (который лишь чуть-чуть легче нейтрона), а W − очень быстро распадается на электрон e− и электронное антинейтрино ν¯e. Поскольку для настоящего рождения W − бозона не хватает очень большого количества энергии, время существования W − крайне мало, а время жизни свободного нейтрона очень велико — почти 15 минут6.

Ve p+ e–

W –

n

Рис. 3.15. Распад нейтрона. Изображена диаграмма, дающая главный вклад в амплитуду процесса. Виртуальный W − выступает в роли бегемошки с рис. 3.14.

Принцип «возможно все,¨ что разрешено законами сохранения» «объясняет» нестабильность всех частиц, которым есть куда распадаться. Нейтрону энергетически выгодно распасться на протон, электрон и электронное антинейтрино, никакие законы сохранения ему этого не запрещают, вот он это и делает.

Протон, конечно, тоже может испустить виртуальный W + и превратиться в нейтрон, с дальнейшим распадом W + → eν¯ e, вот только для того, чтобы нейтрон, позитрон и нейтрино стали реальными частицами, им не хватает энергии, а потому им надо быстро-быстро (за время, отводимое соотношением неопределенности)¨ собраться обратно в протон и сделать вид, что все¨ так и было. (Как показывает квантовая теория поля, подобные процессы действительно влияют на свойства элементарных частиц.)

Аналогично все фермионы второго и третьего поколений могут (через слабое взаимодействие) превратиться в фермионы первого поколения (которым дальше распадаться некуда), и поэтому они так делают.

заднем — для отрицательного. Непрерывность стрелок каждого типа позволяют проследить сохранение электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел.

6Внутри стабильного атомного ядра условия иные, и нейтрон может жить неограниченно долго.

ГЛАВА 4

Математические понятия квантовой теории

. . . между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и . . . именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы. . . . в силу последнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными) мы не можем утверждать, является ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной.

Юджин Вигнер, «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»

В этой главе вводятся основные математические понятия, на языке которых квантовую механику удобно излагать и понимать. Попутно вводимые понятия обсуждают с разных точек зрения: различные обозначения, связь между понятиями, физический смысл, применение, аналогии с простейшими случаями (которые, вероятно, известны читателю), отличия от таких простейших случаев и природа этих отличий . . .

Математический аппарат вводится с запасом (хотя это и не единственная математическая глава в книге), так что при первом чтении настоятельно рекомендуется не пытаться изучить все,¨ а, пропуская непонятные места (особенно помеченные звездочками),¨ побыстрее перейти в главе 5 «Принципы квантовой механики».

4.1. Пространство волновых функций

4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функция?

Волновая функция может зависеть от времени, но эту зависимость мы пока не рассматриваем, а берем¨ систему в фиксированный момент времени.

Распределение вероятностей для классической механической системы можно записать как функцию от координат и импульсов всех входящих

всистему частиц (x, p), т. е., если вспомнить терминологию теоретической механики, как функцию от точки фазового пространства1.

Вквантовой механике мы не можем одновременно измерить координату и соответствующий этой координате импульс. Аргументом волновой функции должен быть максимальный набор одновременно измеримых величин, поэтому волновая функция не может зависеть одновременно от всех координат и импульсов.

Волновая функция может быть представлена как функция от всех координат всех частиц системы2, т. е., если вспомнить терминологию теоретической механики, как функцию от точки конфигурационного пространства3.

Впрочем, задание волновой функции как функции на конфигурационном пространстве — координатное представление — это лишь одно из возможных представлений. Мы можем, например, задать волновую функцию как функцию на пространстве импульсов — импульсное представление (аргументы — все импульсы, всех частиц системы) получается из координатного представления преобразованием Фурье. Число всевозможных представлений волновой функции бесконечно, подобно тому, как бесконечно число базисов, по которым можно раскладывать векторы. Это сравнение не случайно. Далее мы будем рассматривать волновые функции как векторы.

Важно отметить, что волновая функция описывает не отдельную частицу, а систему в целом. Если мы имеем систему из 10 частиц, то она описывается не 10 волновыми функциями, от 3 переменных каждая, а одной волновой функцией, от 30 переменных (что гораздо сложнее для вычислений). Действительно, информация, необходимая для описания системы, растет¨ с числом частиц не как арифметическая прогрессия, как было

вклассической механике, а как геометрическая.

(*)Если мы описываем одну частицу в трехмерном¨ пространстве, то для приближенного¨ задания ее¨ состояния в классической механике надо задать 6 · K цифр (3 координаты и 3 импульса, на каждое число считаем по K десятичных знаков), а в квантовой механике — L3 ·2K цифр (по K десятичных знаков для вещественной и мнимой части каждого из значений вол-

1Точка фазового пространства задается¨ значениями всех обобщенных¨ координат и импульсов системы.

2Для бесспиновых частиц. Для частиц со спином полный набор одновременно измеримых переменных будет включать, например, проекции спинов всех частиц на какое-то направление, или какие-то другие спиновые переменные.

3Точка конфигурационного пространства задается¨ заданием всех обобщенных¨ координат системы.

новой функции в L3 узлов решетки¨ L ×L ×L). Если мы увеличиваем число частиц в классической задаче, то число необходимых для описания системы цифр растет¨ пропорционально числу частиц N , т. е. требуется 6N · K цифр.

(*) Для квантовой системы число цифр оказывается (L3)N · K. Даже для сравнительно небольшой решетки¨ 100 × 100 × 100 объем¨ информации растет¨ в 106 раз при добавлении каждой новой частицы. По этой причине в квантовой механике систем многих частиц (таких как сколько-нибудь сложные атомы, молекулы, конденсированные среды и т. п.) для расчетов¨ приходится использовать те или иные приближения, например, приближение среднего поля, когда рассматривается одночастичная задача, а влияние всех остальных частиц учитывается через эффективное поле, в котором движется частица4.

Часто пишут, что для системы, состоящей из невзаимодействующих подсистем, можно определить отдельные волновые функции для этих подсистем. Понимать это надо следующим образом. Пусть полный набор одновременно измеримых переменных (x1, x2) состоит из переменных (x1), описывающих первую подсистему, и переменных (x2), описывающих вторую. Тогда волновую функцию всей системы можно записать как Ψ12(x1, x2). И если в некоторый момент времени

то и в последующие моменты времени волновая функция системы записывается как произведение функций, описывающих подсистемы. Это аналогично поведению распределений вероятности в классической механике.

Запись (4.1) волновой функции системы через функции подсистемы называют тензорным произведением и записывают как

В общем случае (если ψ =ψ ) Ψ = Ψ = ψ ψ , т. к. Ψ (x , x ) =

1 2 12 21 2 1 21 1 2

= ψ2(x1) · ψ1(x2).

Однако в общем случае волновая функция Ψ12 уже не может быть записана в виде произведения, хотя она и представима в виде суммы (или

4Само по себе уравнение Шредингера,¨ описывающее эволюцию квантовой системы во времени, линейно, но в приближении среднего поля большое количество частиц описывается одной волновой функцией, которая описывает фон, на котором движется каждая из частиц. Из-за этого параметры уравнения начинают зависеть от волновой функции и уравнение становится нелинейным. Таким образом, если вы где-то встретили нелинейное уравнение Шредингера,¨ то его написание, в большинстве случаев, вызвано не желанием обобщить одночастичное уравнение Шредингера,¨ а желанием приближенно¨ решить многочастичное уравнение.

пространства, т. е. объекты, для которых определено сложение (ψ + φ, т. е. суперпозиция состояний) и умножение на число (cψ). Очевидно, что для волновых функций эти операции определены, причем¨ поскольку сами волновые функции комплекснозначны, то естественно считать, что пространство волновых функций — комплексное векторное пространство.

Принято считать, что волновая функция определена с точностью до произвольного ненулевого комплексного множителя, т. е. волновые функции ψ и cψ (где c = 0— произвольная комплексная константа) описывают одинаковые состояния квантовой системы.

Пространство волновых функций мы будем называть пространством чистых состояний системы, или просто пространством состояний. Сама волновая функция будет называться вектором состояния, или просто состоянием (точнее чистым состоянием, см. сноску 2).

Значения волновой функции при разных значениях аргументов при этом можно рассматривать как комплексные значения компонент вектора из пространства H.

Если рассматривать вектор как набор компонент, то можно сказать, что вектор определяет функцию, которая по номеру компоненты вектора возвращает значение этой компоненты. Для привычных нам конечномерных векторов компоненты нумеруются дискретным числом, которое пробегает конечный набор допустимых значений, а для волновых функций число компонент как правило бесконечно, причем¨ переменная, нумерующая компоненты (аргумент волновой функции), может быть как дискретной, так и непрерывной (а также непрерывной на некоторых интервалах и дискретной на других).

На пространстве волновых функций нам нужно скалярное произведение, поскольку для единичных векторов оно имеет хороший физический смысл амплитуды вероятности (3.13) при измерении.

Для обычных векторов в комплексном n-мерном пространстве у математиков принято определять скалярное произведение следующим образом:

k=1