quant-1-1-arphf9t1u8h
.pdfОГЛАВЛЕНИЕ |
xi |
ГЛАВА 14. Симметрии-2* (группы и представления) . . . . . . . |
398 |
14.1.Группы и их представления (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
14.2.Группы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.1.Определение и смысл (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.2.Коммутативность и некоммутативность (л) . . . . . . . 401
14.2.3.Подгруппы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.2.4.Конечные группы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
14.2.5.Стандартные матричные группы (л) . . . . . . . . . . . 405
14.3.«Симметрии-1» и «Симметрии-2». В чем¨ различие?* . . . . . 406
14.3.1. |
Однопараметрические группы* |
. |
. . |
. . |
. . |
. . |
. |
. . |
. |
406 |
14.3.2. |
Группы и алгебры Ли* . . . . |
. . |
. . |
. . |
. . |
. . |
. |
. . |
. |
407 |
14.4.Представления групп (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.4.1.Существование* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.4.2.Приводимость и инвариантные подпространства (л) . . 410
14.4.3.Разложение представления в сумму неприводимых (л) 411
14.4.4.Умножение представлений (лф*) . . . . . . . . . . . . . 413
ГЛАВА 15. Вращения и моменты |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 415 |
15.1. Группа вращений . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . 415 |
15.1.1.Что такое поворот (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
15.1.2.Квантовые вращения** . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
15.2.Представления вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
15.2.1. Орбитальные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
|
ˆ |
|
|
15.2.2. Спектр оператора jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 |
|||
ˆ |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 |
||
15.2.3. Операторы j |
|||
± |
ˆ |
ˆ2 |
. . . . . . . . . 426 |
15.2.4. Собственные векторы операторов jz , j |
|||
15.2.5.Орбитальные и спиновые моменты . . . . . . . . . . . 429
15.2.6.Коммутаторы моментов импульса . . . . . . . . . . . . 430
15.2.7.Лестничные операторы для осциллятора aˆ± и момен-
ˆ
та импульса j±** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
15.3. Спин 1 . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 |
|
2 |
|
|
15.3.1. Матрицы Паули |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
435 |
15.3.2. Кватернионы** |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
437 |
15.3.3.Геометрия чистых состояний кубита** . . . . . . . . . 439
15.3.4.Геометрия смешанных состояний кубита** . . . . . . . 440
15.4.Спин 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
15.4.1.Вращения для спина 1 и для векторов . . . . . . . . . . 443
15.4.2. Спин и поляризация фотона |
. . . |
. . . . . . . . . . . |
. |
444 |
15.5. Сложение моментов* . . . . . . . |
. . . . |
. . . . . . . . . . . |
. |
445 |
xii ОГЛАВЛЕНИЕ
15.5.1. Сложение спинов 1 |
+ 1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 448 |
2 |
2 |
|
15.5.2. Четность¨ при сложении двух одинаковых спинов . . . 449 |
||
15.5.3. Сложение моментов j + 1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 452 |
|
|
2 |
|
15.5.4. Сложение моментов 1 + 1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 453 |
|
ГЛАВА 16. Задача двух тел . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 455 |
|
16.1. Законы сохранения . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 455 |
|
16.2.Сведение к задаче одного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
16.3.Сведение к задаче о радиальном движении . . . . . . . . . . . 458
16.3.1.Асимптотика r → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
16.3.2.Асимптотика r → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.4.Атом водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
16.4.1. Кулоновские и атомные единицы . . . . . . . . . . . . 465
16.4.2.Решение безразмерного уравнения . . . . . . . . . . . . 467
16.4.3.Атом водорода в «старой квантовой механике»* . . . . 469
ГЛАВА 17. Квантовая и классическая история. Вместо |
послесло- |
вия (ффф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . 471 |
17.1. Предварительные извинения . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . 471 |
17.2. Сослагательное наклонение в истории . . . . . . . |
. . . . . . 471 |
17.2.1.Классическая неустойчивая динамика . . . . . . . . . . 471
17.2.2.Квантовая многомировая история . . . . . . . . . . . . 472
17.2.3.Квантовая история и сознание . . . . . . . . . . . . . . 474
17.3.Неопределенное¨ ближайшее будущее . . . . . . . . . . . . . . 476
17.3.1. Приближение бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . 476
17.3.2.Перестройка спектра состояний . . . . . . . . . . . . . 476
17.4.Пост-какое-то общество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
17.4.1.Постсельское общество . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
17.4.2.Постиндустриальное общество . . . . . . . . . . . . . . 480
17.4.3.Структура перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
17.5.Школоцентризм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
17.6.Заключительные извинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
—Не может быть! — воскликнула Алиса. — Я этому поверить не могу!
—Не можешь? — повторила Королева с жалостью. — Попробуй еще¨ раз: вздохни поглубже и закрой глаза.
Алиса рассмеялась.
—Это не поможет! — сказала она. — Нельзя поверить в невозможное!
—Просто у тебя мало опыта, — заметила Королева. — В твоем¨ возрасте я уделяла этому полчаса каждый день! В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака!
Льюис Кэрролл, «Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса
вЗазеркалье» (Пер. Н. М. Демуровой)* *Интересны выходные данные книги: Льюис Кэрролл. Приключения Алисы
встране чудес. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье». — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1991.
Как читать эту книгу и откуда она взялась
На свете есть столь серьезные¨ вещи, что говорить о них можно только шутя.
Первоначально автор хотел просто соб- |
|
|
|
|
рать свое¨ изложение возникающих в кванто- |
|
|
|
|
вой механике вопросов, которые можно по- |
|
|
|
|
нять, но понимание которых требует отказа от |
|
|
|
|
ряда классических (доквантовых) предрассуд- |
|
|
|
|
ков, прочно ассоциируемых со здравым смыс- |
|
|
|
|
лом. |
|
|
|
|
Многие задачи, разбираемые на семина- |
|
|
|
|
рах по квантовой механике, являются на са- |
Рис. |
1. |
Сами создатели |
|
мом деле важными теоретическими вопроса- |
||||
ми, поэтому данная книга постепенно стано- |
квантовой |
механики бы- |
||
ли |
людьми |
нескучными. |
||
вится учебником по квантовой механике. На |
Нильс Бор |
демонстрирует |
||
данный момент книга полностью покрывает |
Вольфгангу |
Паули волчок |
||
программу первого семестра стандартного го- |
«тип-топ». [Из книги Данин Д. С. Нильс |
|||
дового курса квантовой механики, читаемого |
Бор. — М.: Молодая гвардия, 1978 (серия ЖЗЛ)] |
|||
студентам Московского физико-технического института (МФТИ), и некоторые темы второго семестра, а также содержит
обсуждение ряда вопросов, выходящих за пределы программы, но представляющих интерес для любознательного читателя.
Как любой учебник, претендующий на фундаментальность, этот текст содержит разделы, которые не нужны студенту, чья цель — сдать экзамен и забыть о квантовой механике как о страшном сне. Поэтому различные разделы книги имеют разный статус, который отражается в их заголовках:
•Разделы, заголовки которых кончаются на «(ф)», — «философические», в них мало формул и много слов, обсуждающих физический и/или
xvi |
КАК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ |
философский смысл квантовой механики в целом или отдельных ее¨ разделов. Эти разделы могут быть полезны с точки зрения понимания. Читатель, не знающий и не желающий знать, как в квантовой механике делаются конкретные вычисления, может ограничиться этими разделами. Наиболее «философические» разделы, т. е. те, где рассуждения наиболее шатки и наименее проверяемы опытом, помечены «(фф)». Философические разделы, в которых рассуждения подкрепляются формулами, пусть и не строгими, обозначаются как «(ф*)», «(фф*)», «(ф**)» или «(фф**)» в зависимости от степени философичности и математичности. Все философические разделы можно пропускать при чтении, хотя такие пропуски (особенно для разделов с малым числом букв «ф») могут затруднить понимание материала.
•Разделы, помеченные звездочкой¨ «*», означают материал, который можно пропустить при первом чтении. Обычно в них содержится материал, уводящий в сторону от основного сюжета. Такой материал может также помещаться в сноски. На втором/третьем заходе с этими разделами лучше ознакомиться. Двумя звездочками¨ «**» помечены разделы, которые можно пропускать при любой степени проработки текста. Хотя, пропуская эти разделы, вы рискуете не узнать что-то такое, о чем¨ большинство учебников умалчивает как об очевидных и/или бесполезных фактах. Звездочкой¨ в квадратных скобках [ ] отмечаются некоторые необязательные при первом чтении формулы. Звездочка¨ также сопровождает ссылки на такие формулы.
•Разделы, заголовки которых кончаются на «(л)», — «ликбезовские». В них напоминается то, что вы, по идее, должны бы знать. Даже если вы уверены, что и в самом деле это знаете, то возможно имеет смысл просмотреть такой раздел хотя бы по диагонали, чтобы вспомнить материал, понять в каком контексте его придется¨ применять далее и какие обозначения будут использоваться.
Те же символы могут помечать не целые разделы, а отдельные абзацы. Многие ссылки на оригинальные публикации автор не проверял лично, а списал из интернета (преимущественно из Википедии). Однако все
(кроме особо оговоренных случаев) эпиграфы списаны из тех самых книг, на которые идет¨ ссылка (иногда из электронных версий, а иногда из бумажных). Также все математические/физические выкладки и рассуждения автор проделал/проверил сам (с той или иной степенью строгости).
Фотографии и рисунки, взятые из Википедии (http://ru.wikipedia.org/) или Викисклада (http://commons.wikimedia.org/), помечены буквой «W» в конце подписи к рисунку, аналогично помечены эпиграфы, проверенные по Википедии или Викицитатнику (http://ru.wikiquote.org/).
1. БЛАГОДАРНОСТИ |
xvii |
1.Благодарности
Внаписании книги автору помогали многие люди. Они указывали на ляпы и опечатки, давали советы и консультации по специальным вопросам, просто подтверждали нужность такой книги.
Впервую очередь я хочу выразить глубокую благодарность за помощь
иподдержку моим родителям: отцу Геннадию Васильевичу Иванову, благодаря которому я решил стать физиком (еще¨ до того, как понял, что это значит), и матери Валентине Михайловне Ивановой, которая первая заметила у меня страсть к преподаванию.
Из коллег в первую очередь я хочу выразить благодарность моему Учителю Игорю Васильевичу Воловичу, относящемуся к тем Ученым,¨ кто видит в формулах не только математический и физический смыслы, но также философский смысл и педагогическое значение.
Хочу выразить благодарность всем сотрудникам Отдела математичес-
кой физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, во главе с патриархом отдела и института Василием Сергеевичем Владимировым за плодотворную научную и человеческую атмосферу, в которую я имел счастье погрузиться, начиная с 5-го курса МФТИ.
Также хочу выразить благодарность всем сотрудникам кафедры теоретической физики МФТИ и особенно Н. Н. Пастушковой за создание научнопедагогической и человеческой среды, которая вызвала появление этой книги.
Помощь советами, консультациями, дискуссиями и критикой мне оказали: И. В. Волович, Ю. М. Белоусов, В. И. Манько, Г. С. Ирошников, О. И. Толстихин, С. В. Козырев, Е. И. Зеленов. Дали развернутые¨ дружескикритические отзывы: Л. А. Моргун, С. Петренко, С. Шушкевич. Прочитали бета-версию и объяснили, что такая книга непременно нужна и должна быть издана несмотря на или, наоборот, по причине своего непривычного и личного стиля изложения В. Б. Гейшкенбейн, В. М. Вайнберг, Н. Г. Марчук. На ляпы и опечатки указали: М. А. Энтин, Г. А. Гимранов, А. В. Зыков, А. В. Зыкова, А. Н. Волощук, С. Г. Абаимов и другие.
Не все замечания и критика были учтены. В некоторых случаях я осознанно (хотя, возможно, и опрометчиво) отказался от внесения исправлений, за что приношу коллегам свои извинения.
Отдельную благодарность хочу выразить издательству РХД и лично директору Алексею Владимировичу Борисову за то, что выход книги на бумаге, не помешает свободному доступу к электронной версии на русском языке.
Работа по написанию данной книги была частично поддержана грантами РФФИ 11-01-00828-а и НШ-2928.2012.1.
xviii |
КАК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ |
2. О распространении данной книги
Целью автора при написании данной книги является популяризация квантовой механики и обсуждение ее¨ основополагающих идей среди студентов, а также профессионалов и любителей науки.
Если человек читает книгу, чтобы разобраться в квантовой механике, то было бы странно брать с него за это деньги, наоборот, общество должно доплачивать за такие благородные побуждения. Такого рода доплата обычно называется «студенческая стипендия» или «зарплата» ученого/преподавателя¨. К сожалению, объем¨ подобных выплат в современной России плохо соотносится с типичными ценами книг по квантовой механике (книга такого объема¨ обычно стоит от 500 руб.).
Автор обещает, что текущая стабильная версия книги на русском языке будет доступна для свободного скачивания с интернет-странички Межпредметного семинара кафедры теоретической физики МФТИ (http://mezhpr.fizteh.ru/), либо с другой интернет-странички. Автор не намерен брать на себя каких-либо обязательств (перед издателями, работодателями или кем-либо еще),¨ которые препятствовали бы этому.
В договоре с издательсвом «Регулярная и хаотическая динамика» (г. Ижевск), специально оговорена¨ возможность свободного доступа к электронной версии книги на интернет-портале Московского физико-техниче- ского института (государственного университета) и на личном интернетсайте автора.
Обещания автора, касающиеся свободного доступа к электронному тексту книги, относятся только к русской версии.
М. Г. Иванов
P.S. Если вы получили книгу из какого-либо места, отличного от ин- тернет-странички Межпредметного семинара кафедры теоретической физики МФТИ (например с торрентов или на бумаге), проверьте, нет ли в разделе «библиотека» интернет-странички Межпредметного семинара более свежей версии (см. http://mezhpr.fizteh.ru/biblio/q-ivanov.html).
ГЛАВА 1
Место квантовой теории в современной картине мира (фф)
Теоретическая физика достигла таких высот, что (мы) можем рассчитать даже то, что невозможно себе представить.
Л. Д. Ландау W
Квантовая теория возникла как фундаментальная теория микрообъектов. Однако, если эта теория действительно фундаментальна, то ее¨ область применимости должна быть шире. Насколько шире? Никто пока что не знает.
Но мы можем сказать, в каких разделах физики мы заведомо не можем обойтись без квантовой теории. Краткому популярному обзору этих заведомо квантовых разделов физики и их основных объектов мы и посвятим эту главу. О самой квантовой механике не будет сказано практически ничего.
Читать (или не читать) эту главу можно независимо от остальной книги, как научно-популярное введение, доступное для понимания любознательного школьника.
1.1. Вглубь вещества
Итак, большая часть вещества, с которым нам приходится иметь дело, состоит из молекул и атомов. Кроме молекул и атомов в повседневной жизни нам приходится сталкиваться только с электромагнитным и гравитационным полем.
Молекулы состоят из атомов.
Каждый отдельный атом состоит из ядра и некоторого количества электронов (e — электрический заряд равен −1 в единицах элементарного заряда).
Атомные ядра состоят из протонов (p — заряд +1) и нейтронов (n —
заряд 0), которые «склеены» между собой с помощью глюонов (квантов
2 |
ГЛАВА 1 |
сильного взаимодействия). Впрочем, пока мы не рассматриваем ядерные реакции, внутреннюю жизнь атомного ядра можно не учитывать.
Протоны и нейтроны состоят из u (заряд 23 ) и d (заряд −13 ) кварков (p = uud, n = udd). Одиночных кварков не бывает. Они входят только в состав составных частиц с целым электрическим зарядом.
Кварки и электроны считаются истинно элементарными частицами: они ни из чего не состоят, но могут превращаться в другие частицы1.
Этих частиц и кванта электромагнитного поля (фотона) достаточно для построения всего «обычного» вещества в земных условиях. Если нам нужны еще¨ и «обычные» ядерные реакции (чтобы зажечь Солнце), то понадобится еще¨ четвертая¨ частица νe — электронное нейтрино. Электронное нейтрино можно описать как электрон без электрического заряда (и это не просто шутка).
Перечисленные четыре частицы (u, d, νe, e) образуют первое поколение истинно элементарных фермионов, однако есть еще¨ второе и третье поколения, частицы которых аналогичны описанным частицам, но имеют большую массу (их можно рассматриваться как аналоги или возбужденные¨ состояния соответствующих частиц первого поколения). Каждому фундаментальному фермиону соответствует своя античастица.
1.1.1.Частицы и поля
Вквантовой теории каждому полю соответствует частица-квант поля, а каждой частице соответствует поле.
Более того, даже если поле не является фундаментальным (например, поле деформаций кристаллической решетки),¨ ему тоже можно сопоставить квант — частицу или квазичастицу (например, квант деформации кристаллической решетки¨ — фонон). Аналогично квазичастице или частице, которая не является фундаментальной, можно сопоставить поле.
Все кванты поля полностью лишены индивидуальности: мы в принципе не можем пронумеровать (квази)частицы одного сорта и отследить движение каждой из них. Состояния, отличающиеся друг от друга только
перестановкой (квази)частиц одного сорта, необходимо считать одинаковыми2.
Частицы могут иметь внутренние степени свободы, которые не связаны с движением частицы как целого. Для составных частиц часть внутрен-
1Превращение одной частицы в несколько других могут называть распадом, но это не значит, что продукты распада присутствовали внутри исходной частицы. Правильнее считать, что продукты распада возникли в момент превращения.
2Эта обезличенность важна для физики. При обсуждении вычисления вероятностей в разделе 3.1. «Вероятности и амплитуды вероятности» тождественные и нетождественные состояния учитываются по-разному.