quant-1-1-arphf9t1u8h
.pdf
1.3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ |
23 |
Список, разумеется, неполон, в том числе и потому, что раз уж вся физика в основе своей квантовая, то относить ли то или иное макроскопическое явление к квантовым во многом зависит от произвола конкретного автора.
Особенно много неясностей с макроскопическими квантовыми явлениями возникает тогда, когда к физике примешивается философия (интерпретации квантовой теории), а возможность проверить слова экспериментом в настоящее время отсутствует. Например, ряд авторов (в том числе Роджер Пенроуз) полагает, что макроскопическим квантовым явлением является сознание человека.
Сверхтекучесть и сверхпроводимость
На всякий случай напомним читателю, чт´о из себя представляют явления сверхтекучести и сверхпроводимости.
Сверхтекучесть жидкого гелия была открыта в 1937 году П. Л. Капицей.
В сверхтекучем состоянии жидкость ведет¨ себя так, как будто один и тот же объем¨ занимают две разные жидкости, одна из которых имеет нулевую вязкость, а другая — нормальная (вязкая) жидкость. Нормальная и сверхтекучая компоненты беспрепятственно текут друг сквозь друга.
При различных способах измерения сверхтекучая жидкость демонстрирует нулевую, либо отличную от нуля вязкость, поскольку к по-
добной двухкомпонентной жидкости понятие вязкости в классическом смысле не применимо. При движении тела в среде нормальная компонента создает¨ силу сопротивления, и мы видим ненулевую вязкость. При течении жидкости через капилляры поток определятся почти исключительно сверхтекучей компонентой, и мы видим нулевую вязкость. Сверхтекучая жидкость при прохождении через капилляр охлаждается, т. к. сверхтекучей компоненте можно приписать нулевую температуру, а через капилляр проходит главным образом она.
Сверхтекучую жидкость нельзя рассматривать как механическую смесь двух фаз, мы не можем сказать, что одни частицы относятся к сверхтекучей компоненте, а другие к нормальной. При описании сверхтекучей жидкости степени свободы, относящиеся к обоим компонентам, нельзя связать с отдельными частицами — это коллективные степени свободы, описываю-
24 ГЛАВА 1
щие коллективные возбуждения (квазичастицы), параметры которых (масса, спин, заряд) отличны от параметров отдельных частиц жидкости.
Сверхпроводимость — сверхтекучесть электронной жидкости в сверхпроводнике. Квазичастицы сверхпроводящей компоненты отчасти ведут себя как связанные состояния двух электронов (куперовские пары). Притяжение электронов в паре обеспечивается за счет¨ взаимодействия с колебаниями кристаллической решетки¨ (за счет¨ обмена фононами).
Переход в сверхпроводящее состояние открыл в 1911 году КамерлингОннес для ртути (температура перехода 4,1 К). В настоящее время (согласно Википедии) наиболее высокая подтвержденная¨ температура перехода по-
лучена для Hg12Tl3Ba30Ca30Cu45O127 — 138 К при нормальном давлении и 164 К при давлении 3,5 · 105 атм.
Переходы в сверхпроводящее (сверхтекучее) состояние в отсутствие внешних полей являются фазовыми переходами второго рода, т. е. в точке перехода нормальное и сверхтекучее (сверхпроводящее) состояния не различаются: концентрация сверхтекучей компоненты в точке перехода равна нулю, и становится отлична от нуля при более глубоком охлаждении.
Сверхтекучая (сверхпроводящая) компонента рассматривается как бозе-конденсат квазичастиц (коллективных возбуждений) среды. Все квазичастицы конденсата описываются общей волновой функцией, квадрат которой задает¨ концентрацию квазичастиц. Именно эту волновую функцию обычно выбирают в качестве параметра порядка при рассмотрении фа-
зового перехода. Поскольку бозе-конденсации могут подвергаться только бозоны, квазичастицы конденсата всегда имеют целый спин, даже если жидкость состоит из фермионов, как электронная жидкость (квазичастицы конденсата — куперовские пары) или жидкий He3.
Поскольку состояние большого количества частиц описывается одной волновой функцией, то многие квантовые явления, которые обычно относятся к микросистемам, здесь оказываются макроскопическими.
1.3.3. Вымораживание степеней свободы
Из трех¨ перечисленных выше макроскопических квантовых явлений два связаны с физикой низких температур. Это не случайно. Дискретность
1.3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ |
25 |
уровней энергии в связанной квантовой системе приводит к тому, что очень высокие уровни энергии (E T , точнее e− TE 1) практически не играют роли, и связанные с этими уровнями энергии степени свободы можно не рассматривать. Таким образом, по мере уменьшения температуры «выключаются» сильновозбужденные¨ состояния и поведение системы становится все¨ проще и проще с квантовой точки зрения, т. е. квантовые явления проявляются все¨ более и более отчетливо¨.
Какие температуры считать низкими зависит от того, какие свойства для какой системы мы рассматриваем. Если нас интересует вырождение электронного газа в металле (распределение электронов по энергиям в виде ступеньки), то комнатная температура (300 K) может считаться низкой, а если нас интересует явление сверхпроводимости, то тот же металл, как правило, придется¨ охладить до температуры в несколько кельвинов.
В более плотно упакованных средах уровни энергии выше, соответственно вымораживание происходит при более высоких температурах. Это можно понять из соотношения неопределенностей¨
δx · δp c¯h, c 1.
В плотной среде частица «зажата» соседями и δx для характерных состояний мало. Соответственно, велико δp и велики характерные энергии.
Следуя А. Ф. Андрееву15 (с небольшими модификациями), перечислим некоторые этапы «вымораживания» степеней свободы по мере снижения температуры системы:
•1010 K — отдельные протоны и нейтроны объединяются в атомные ядра — вымораживается независимое движение протонов и нейтронов;
•104 K — отдельные атомные ядра и электроны (плазма) объединяются в атомы — вымораживается (частично) независимое движение электронов и ядер;
•отдельные атомы объединяются в молекулы — вымораживается независимое движение атомов, остается¨ движение молекулы как целого и колебания атомов вдоль химических связей (химические связи как пружинки; на языке теоретической механики — это собственные колебания);
•прекращаются колебания атомов внутри молекулы;
15А. Ф. Андреев «Последние достижения и актуальные проблемы в физике низких температур», обзорная лекция для студентов МФТИ, прочитанная 25 марта 2009 г. на Межпредметном семинаре. См. http://theorphys.fizteh.ru/subscription/RassylMejPred/mejprs25mar2009.html.
26 |
ГЛАВА 1 |
•газ конденсируется в жидкость или твердое¨ тело — вымораживается независимое движение молекул, остаются коллективные колебания (например, звук), при которых каждая степень свободы описывает общее колебание всего образца (снова собственные колебания), т. е. стоячую или бегущую волну с частотой ω (такая волна описывается как совокупность квазичастиц с энергией ¯hω, для звука — это фононы);
•при дальнейшем понижении температуры вымораживаются коллективные колебания с более высокими частотами.
Детали того, какие именно коллективные возбуждения и как вымораживаются при низких температурах, зависят от того, какое вещество мы исследуем. Это могут быть, например, волны намагниченности, или волны де Бройля для частиц сверхтекучей фазы и др. Часто остающиеся после вымораживания коллективные степени свободы могут интерпретироваться в терминах движения сложных частиц (составных элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, твердых¨ тел) или квазичастиц (фононов, куперовских пар, надконденсатных электронов и т. д.).
ГЛАВА 2
От классики к квантовой физике
Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов.
Исаак Ньютон W
Квантовая механика существенно отличается от классической (доквантовой) физики: идейно квантовая механика устроена по-другому. При этом многие классические идеи находят свое¨ применение, но в другом, часто неожиданном контексте. Многие «мелочи» (точные определения «очевидных» понятий, «чисто технические» оговорки и т. п.) при этом оказываются ключевыми.
Вэтой главе почти популярно обсуждаются принципиальные сходства
иразличия классической и квантовой физики, для понимания которых не требуется знания квантовой механики.
Как и глава 1 «Место квантовой теории в современной картине мира (фф)», большая часть этой главы может (не)читаться отдельно от остальной книги.
Обязательным для понимания последующих глав является только описание структуры квантовой механики в разделе 2.3 «Две ипостаси квантовой теории».
2.1.«Здравый смысл» и квантовая механика
В действительности все¨ не так, как на самом деле.
Станислав Ежи Лец, «Неприч¨есанные мысли»
Многое из того, что кажется школьнику обязательными свойствами любой физической теории, неприменимо в квантовой физике. Вот несколько таких общих положений, которые великолепно работали столетиями, ка-
28 |
ГЛАВА 2 |
зались настолько естественными для любой научной теории, что даже не оговаривались явно, но перестали работать в квантовой физике:
•Точечная частица находится в некоторой единственной точке пространства в любой момент времени, иначе это не точечная частица.
•Если провести над системой измерение, то мы станем лучше знать ее¨ состояние, если мерить достаточно аккуратно.
•Измерение всегда можно провести сколь угодно аккуратно, по крайней мере в принципе можно.
•Наука объективна в том смысле, что при изучении любого объекта мы можем исключить из рассмотрения субъекта, который этот объект изучает и измеряет.
•Если измерение говорит нам «ДА» (система определенно¨ обладает некоторым свойством), то такое же измерение над другой такой же системой в таком же состоянии тоже обязательно даст «ДА» (детерминизм).
•Для того, чтобы состояние системы изменилось, надо, чтобы что-то провзаимодействовало именно с этой системой.
•Состояния всех подсистем однозначно определяют состояние системы в целом.
Все эти утверждения не работают в квантовой механике!!!
«Не работают» не значит, что это «вообще» неверные утверждения. В своей области применимости (в классической физике) они работают великолепно, но не в квантовой механике. Эти утверждения оказались не фундаментальными свойствами природы или проявлениями «здравого смысла», а феноменологическими обобщениями с очень широкой, но ограниченной областью применимости.
Эти сложности связаны со структурой квантовой теории, в которой, как и в других неклассических теориях, анализ процесса измерения играет принципиальную роль и позволяет/заставляет отказаться от некоторых привычных, но принципиально ненаблюдаемых понятий.
2.2. Квантовая механика — теория превращений
Большинство перечисленных выше сбоев классической физической интуиции связаны с тем, что процесс изменения состояния квантовой системы невозможно детально проследить. Впервые физики столкнулись
2.2. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — ТЕОРИЯ ПРЕВРАЩЕНИЙ |
29 |
с этим при попытках описания постулированных Бором (1913) квантовых скачков, при которых состояние атома изменяется скачком с испусканием или поглощением фотона.
Прорыв был достигнут, когда Гайзенберг (1925) отказался от рассмотрения деталей процесса и ввел¨ матрицы, связывающие между собой начальные и конечные состояния системы, которые превращаются друг в друга по некоторым правилам.
Одна из основных идей квантовой механики состоит в том, что
Квантовая механика — теория превращений
Причем¨ проследить процесс превращения нельзя. Мы уже сталкивались с превращениями в предыдущей главе, при обзоре физики элементарных частиц.
Перечислим некоторые важные случаи превращений:
•Любой процесс — превращение начального состояния в конечное.
•Движение = изменение = превращение.
•«Распад» элементарной частицы, или радиоактивного ядра — это превращение. Исходная частица может не содержать внутри чего-либо похожего на продукты «распада», в которые она превращается в некоторый момент времени (момент точно не определенный,¨ не определимый и вообще «размазанный» по времени).
•Фундаментальные превращения — это элементарные превращения, на которые могут быть разложены все другие, более сложные превращения.
•Стандартные «4 фундаментальных взаимодействия» — это те фундаментальные превращения, которые меняют число частиц, есть и другие фундаментальные превращения, которые число частиц не меняют (пример см. следующий пункт).
•Осцилляции нейтрино (аналогично осцилляции кварков) — процесс взаимопревращений разных сортов нейтрино друг в друга.
•Важное фундаментальное превращение — превращение элементарной частицы в себя с изменением координат или без изменения импульса (не забываем, что координата и импульс одновременно не определены).
•Если процесс (превращение) может происходить разными способами (например, процесс может быть разными способами разложен на фундаментальные взаимодействия), и мы не можем эти способы различить
30 |
ГЛАВА 2 |
между собой, то реализуются все способы одновременно, т. е. все способы дают вклад в процесс.
•Если с системой ничего не произошло, то она все¨ равно превратилась из начального состояния обратно в начальное. В процессе этого превращения она могла подвергнуться каким-то нетривиальным превращениям, возможно одновременно разным превращениям (см. предыдущий пункт).
2.3. Две ипостаси квантовой теории
Квантовая механика — вероятностная теория. Однако это верно только наполовину. На самом деле квантовая механика состоит из двух частей со своими областями применимости (но обе части описывают превращения):
•полностью детерминистическая теория замкнутой квантовой системы — теория того, что никто не может видеть, — того, что происходит, когда замкнутая система ни с кем не взаимодействует, — унитарная эволюция (описывается уравнением Шредингера);¨
•вероятностная теория измерений, описывающая результат измерения (т. е. взаимодействия системы с измерительным прибором), но не описывающая сам процесс измерения, может быть, в свою очередь, разбита на две части:
–вычисление вероятностей различных исходов измерения (правило Борна),
–вычисление состояния системы после измерения:
если результат измерения известен (селективное измерение),
если результат измерения неизвестен (неселективное измерение).
2.3.1.Когда наблюдатель отвернулся . . .
Адальше идет¨ коридор. Если распахнуть дверь в нашей гостиной пошире, можно увидеть кусочек коридора в том доме, он совсем такой же, как у нас. Но, кто знает, вдруг там, где его не видно, он совсем другой?
Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»
Уравнение Шредингера¨ не содержит ничего вероятностного. Оно полностью описывает, как меняется со временем волновая функция, а волновая
2.3. ДВЕ ИПОСТАСИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ |
31 |
функция полностью описывает состояние системы. Более полное описание невозможно, поэтому волновую функцию часто называют просто состояние (или чистое состояние, см. ниже сноску 2). Кто-то может возразить, что как раз волновая функция описывает вероятности, но уравнение Шредингера¨ об этом «не знает», в этом разделе теории ничто не побуждает нас к использованию вероятностей, вероятности появятся, когда мы займемся¨ теорией измерений.
Волновая функция — максимально полное опи- |
|
|
|
сание системы в квантовой механике. Причем¨ урав- |
|
|
|
нение Шредингера¨ позволяет по волновой функции, |
|
|
|
заданной в один момент времени, предсказывать ее¨ |
|
|
|
поведение как вперед,¨ так и назад по времени, ес- |
|
|
|
ли система не подвергалась внешним возмущени- |
|
|
|
ям/измерениям (в данном случае это практически од- |
|
|
|
но и то же). |
|
|
|
Пока квантовая система эволюционирует сама |
|
|
|
по себе, квантовая механика даже более детерми- |
|
|
|
нистична, чем классическая, поскольку уравнение |
Рис. |
2.1. |
Эрвин |
Шредингера¨ устойчиво по начальным данным: если |
|||
в начальный момент времени волновая функция зада- |
Рудольф Йозеф Алек- |
||
на с некоторой ошибкой, то величина этой ошибки1 |
сандр |
Шредингер¨ |
|
не меняется со временем. Только для этого система |
(1887–1961). W |
|
|
должна быть замкнутой, т. е. наблюдателю мало «отвернуться», ему надо еще¨ и «выключить свет», изолировав систему от окружения.
2.3.2. На наших глазах . . .
Совсем по-другому ведет¨ себя система, когда мы ее¨ наблюдаем, т. е. подвергаем некоторому неконтролируемому внешнему воздействию. Именно в процессе измерения волновая функция проявляет свою вероятностную природу, и проявляется необратимость, свойственная квантовой механике. Состояние системы меняется скачком, и после измерения мы с некоторыми вероятностями имеем разные волновые функции2 и различные результаты измерения.
1Заданная как норма в пространстве L2. Необходимые для квантовой механики свойства
иопределения для пространства L2 будут даны ниже.
2Состояния, когда система с некоторыми вероятностями описывается разными волновыми функциями, называются смешанными состояниями. Смешанные состояния удобно описывать с помощью матриц плотности, о которых еще¨ будет идти речь далее.
32 |
ГЛАВА 2 |
Для того, чтобы измерение произошло, не важно, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора, и есть ли у прибора вообще стрелка. То, что наблюдатель отвернулся, не отменяет наблюдения3. Если вы наблюдаете процесс невооруженным¨ глазом, то для прекращения измерения мало закрыть глаза, надо еще¨ и выключить свет. Важно, что исследуемая квантовая система подверглась неконтролируемому взаимодействию с внешней
макроскопической средой. Неконтролируемость взаимодействия делает его необратимым, и обеспечивается эта неконтролируемость тем, что среда содержит макроскопически большое количество частиц. При этом, непосредственно в контакт с исследуемым объектом может вступать одна частица, но в процессе дальнейшей передачи сигнала и его усиления (если такое усиление нужно) в процесс вовлекается все¨ больше и больше частиц. Если у прибора есть стрелка, то в результате макроскопический наблюдатель сможет поставить единичку в одну или другую колонку лабораторного журнала.
|
В некоторых случаях результат измерения мож- |
|
но предсказывать однозначно. Однако для этого вол- |
|
новая функция и измеряемая величина должны быть |
|
связаны определенным¨ соотношением, тогда говорят, |
|
что данная величина определена в данном состоянии. |
|
Для того же состояния системы (той же волновой |
|
функции) можно подобрать другую величину, изме- |
|
рение которой уже не будет однозначно предсказуе- |
|
мо. (Например из соотношения неопределенности¨ |
|
следует, что чем точнее определен¨ импульс, тем силь- |
Рис. 2.2. Макс Борн |
нее частица «размазана» по координате.) |
Вероятность того или иного исхода измерения |
|
(1882–1970). W |
физической величины описывается правилом Бор- |
|
|
|
на, связывающим квадрат модуля волновой функции |
(амплитуды вероятности) |ψ(x)|2 с вероятностью результата измерения. Это правило, которое мы (в простейшем случае) «угадаем» при анализе смысла комплексной амплитуды электромагнитной волны (2.7.2 «Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)»), является универсальным.
Таким образом, состояние системы (заданное, например, волновой функцией) может меняться со временем двумя принципиально различными способами: предсказуемо без взаимодействия с окружением и непредсказуемо при измерении.
3Знание наблюдателем результата измерения различает селективное измерение от неселективного, но такое различие, основанное на незнании, уже полностью описывается на языке классической теории вероятностей.