quant-1-1-arphf9t1u8h

Для собственных состояний уравнения в системе должны давать одинаковые значения A±. Разделив второе уравнение на первое, получим условия разрешимости

k+ tg(k+ a2 ) = κ+; −k− ctg(k− a2 ) = κ−.

Полученные трансцендентные уравнения мы исследуем графически. Сначала обезразмерим их, умножив на a2 . Введем¨ обезразмеренное вол-

новое число K+ = k+ a2 для четного¨ случая и K− = k− a2 для нечетного¨. Также введем¨ обезразмеренный параметр затухания Λ± и параметр глубины ямы R:

Поскольку с точностью до замены K+ ↔ K− правые части уравнений совпадают, их графики удобно изобразить на одной координатной плоскости.

где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Таким образом, число решений отличается от приведенной¨ выше квазиклассической оценки (6.4) не более чем на 1.

Глубокие уровни*

√

Для глубоких уровней (Λ = R2 − K2 1) значения K близки к π2 n, т. к. окружность пересекает ветви K tg K и −K ctg K на большой высоте, там где они близко подходят к своим асимптотам. Условие K = ka2 ≈ πn2 соответствует тому, что в яме помещается почти (чуть меньше чем) целое число полуволн. При этом на границе ямы волновая функция близка к нулю, и очень быстро по сравнению с размером ямы ( κa2 = Λ 1) спадает за пределами ямы.

Предел мелкой ямы*

Мелкой естественно считать прямоугольную яму, в которой имеется

трансцендентное уравнение для основного состояния можно решить:

K tg K = R2 − K2 K2 ≈ R2 − K2.

На K2 получаем уравнение

√

K4 + K2 − R2 ≈ 0, Λ ≈ K2 ≈ − 1 + 1 + 4R2 ≈ R2.

2

6.1.5. δ-яма

Мы уже исследовали δ-яму как предельный случай мелкой прямоугольной ямы. Теперь мы исследуем тот же потенциал непосредственно.

Запишем стационарное уравнение Шредингера¨ для дельта-ямы:

При x = 0δ(x) = 0, а решать уравнение Шредингера¨ для нулевого потенциала мы уже умеем. Значит нам осталось исследовать условие сшивки решений с нулевым потенциалом в точке 0.

Единственное, что можно делать с дельта-функцией, — проинтегрировать ее¨. Поскольку нас интересует условие сшивки в нуле, то естественно интегрировать по малой окрестности нуля:

Для ограниченной функции ψ(x) при ε → 0 получаем условие сшивки в нуле:

Сама волновая функция в нуле должна быть непрерывна, т. к. для разрывной в нуле волновой функции ψ будет содержать член δ (x), который будет нечем скомпенсировать.

ψ(+0) = ψ(−0).

δ(x) = δ(−x), т. е. дельта-яма — четный¨ потенциал и мы можем искать решения уравнения (6.8) отдельно для четного¨ и нечетного¨ случаев.

Для непрерывных нечетных¨ волновых функций ψ также оказывается

непрерывным:

ψ(0) = 0 ψ (+0) = ψ (−0).

Это условие сшивки не чувствует дельта-ямы. Таким образом, все нечетные¨ собственные функции для дельта-ямы такие же как для потенциала U (x) ≡ 0. Связанных состояний среди нечетных¨ функций нет.

168 ГЛАВА 6

Будем искать связанное четное¨ состояние. Оно обязано иметь вид

Мы сразу откинули растущие на бесконечности решения. Условие непрерывности выполняется автоматически. Осталось проверить условие сшивки (6.9). Оно дает¨

Таким образом, мы воспроизвели результат (6.7), полученный ранее предельным переходом для мелкой прямоугольной ямы.

Задача: Об условии сшивки в точке δ-ямы**

Мы можем составить базис в пространстве L2(R) из собственных функций уравнения (6.8). Все базисные функции будут удовлетворять линейному однородному условию сшивки (6.9). В силу линейности условия (6.9) любая конечная взвешенная сумма базисных функций будет удовлетворять тому же условию сшивки.

Означает ли это, что тому же условию сшивки будет удовлетворять любая линейная комбинация базисных функций? Как условие (6.9), наложенное на базисные функции, согласуется с тем, что не все функции пространства L2(R) удовлетворяют этому условию?

6.1.6. Существование уровня в мелкой яме

Пусть для рассматриваемого потенциала U (x) выполняются условия U1 = U− = U+ > U0. Нам надо доказать, что существует хотя бы одно собственное состояние с энергией U1 > E > U0. Это состояние, как было показано выше (см. рис. 6.2), неизбежно будет принадлежать дискретному спектру.

Всоответствии с вариационным принципом (4.68) нам достаточно

предъявить любое состояние ψп, для которого средняя энергия меньше U1. Энергия этого состояния даст оценку сверху на энергию основного состояния. Оно неизбежно попадет¨ в указанный диапазон, т. к. ниже дна ямы U0 уровней быть не может (см. рис. 6.2).

Вкачестве состояния ψп возьмем¨ основное состояние для мелкой сим-

метричной прямоугольной ямы, такой, что она всюду мельче, чем яма U (x):

Как было показано выше, дискретное состояние с энергией U1 > Eп > U1 − −V > U0 есть в любой сколь угодно мелкой симметричной прямоугольной яме

неизбежно имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией E0, удовлетворяющей условию U1 > Eп > E0 > U0.

6.2. Осцилляторная теорема

Осцилляторная теорема позволяет уточнить структуру дискретного спектра одномерной квантовой системы, давая информацию о поведении нулей собственных состояний.

Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида (6.1)) имеет два нуля на границах области определения волновой функции: это либо точки ±∞, либо точки, в которых стоят бесконечно высокие стенки, ограничивающие области движения частицы.

Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определения волновой функции. Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности решений обыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри области определения являются точками перемены знака волновой функции (собственные волновые функции мы выбираем вещественными).

Пронумеруем все дискретные уровни в порядке возрастания энергии, начиная с основного состояния, которому присвоим номер 0. Будем говорить, что n-е возбужденное¨ состояние — это состояние номер n, по указанной нумерации. В частности, нулевое возбужденное¨ состояние — это состояние номер 0, т. е. основное состояние.

Осцилляторная теорема

•Число внутренних нулей n-го возбужденного¨ состояния равно n.

•Между каждой парой нулей состояния номер n (включая нули на границе области определения) находится один и только один нуль состояния номер n + 1.